Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39212 / 30062
↖ ↑ ↗
← N 14.700508°
E 35.397949°		 ← 590.86 m → N 14.700508°
E 35.403443°		 →
↑
590.78 m
↓
↑
590.78 m
↓
N 14.695195°
E 35.397949°		 ← 590.87 m →
349 072 m²		 N 14.695195°
E 35.403443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598335266113281 y=0.458717346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598335266113281 × 216)
    floor (0.598335266113281 × 65536)
    floor (39212.5)     		tx = 39212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458717346191406 × 216)
    floor (0.458717346191406 × 65536)
    floor (30062.5)     		ty = 30062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39212 / 30062 ti = "16/39212/30062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39212/30062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39212 ÷ 216
    39212 ÷ 65536     		x = 0.59832763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30062 ÷ 216
    30062 ÷ 65536     		y = 0.458709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59832763671875 × 2 - 1) × π
    0.1966552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61781076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458709716796875 × 2 - 1) × π
    0.08258056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.259434500743744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61781076} λ = 0.61781076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259434500743744))-π/2
    2×atan(1.29619688099952)-π/2
    2×0.913684299355508-π/2
    1.82736859871102-1.57079632675     		φ = 0.25657227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61781076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.397949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25657227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.700508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39212 KachelY 30062 0.61781076 0.25657227 35.397949 14.700508
    Oben rechts KachelX + 1 39213 KachelY 30062 0.61790664 0.25657227 35.403443 14.700508
    Unten links KachelX 39212 KachelY + 1 30063 0.61781076 0.25647954 35.397949 14.695195
    Unten rechts KachelX + 1 39213 KachelY + 1 30063 0.61790664 0.25647954 35.403443 14.695195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25657227-0.25647954) × R
    9.27299999999853e-05 × 6371000     		dl = 590.782829999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25657227-0.25647954) × R
    9.27299999999853e-05 × 6371000     		dr = 590.782829999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61781076-0.61790664) × cos(0.25657227) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.967265501915812 × 6371000     		do = 590.855563397829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61781076-0.61790664) × cos(0.25647954) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.96728902952688 × 6371000     		du = 590.869935273871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25657227)-sin(0.25647954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967265501915812-0.96728902952688)×R²
    abs(0.61790664-0.61781076)×2.35276110682747e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.35276110682747e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.35276110682747e-05×40589641000000     		ar = 349071.567444289m²