Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3921 / 1969
↖ ↑ ↗
← N 67.858985°
W  7.690430°		 ← 1 841.66 m → N 67.858985°
W  7.646484°		 →
↑
1 842.30 m
↓
↑
1 842.30 m
↓
N 67.842416°
W  7.690430°		 ← 1 842.97 m →
3 394 096 m²		 N 67.842416°
W  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47869873046875 y=0.24041748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47869873046875 × 213)
    floor (0.47869873046875 × 8192)
    floor (3921.5)     		tx = 3921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24041748046875 × 213)
    floor (0.24041748046875 × 8192)
    floor (1969.5)     		ty = 1969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3921 / 1969 ti = "13/3921/1969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3921/1969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3921 ÷ 213
    3921 ÷ 8192     		x = 0.4786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1969 ÷ 213
    1969 ÷ 8192     		y = 0.2403564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13422332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2403564453125 × 2 - 1) × π
    0.519287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63138856786975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13422332} λ = -0.13422332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63138856786975))-π/2
    2×atan(5.11096671770369)-π/2
    2×1.37757951924011-π/2
    2.75515903848021-1.57079632675     		φ = 1.18436271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13422332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18436271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.858985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3921 KachelY 1969 -0.13422332 1.18436271 -7.690430 67.858985
    Oben rechts KachelX + 1 3922 KachelY 1969 -0.13345633 1.18436271 -7.646484 67.858985
    Unten links KachelX 3921 KachelY + 1 1970 -0.13422332 1.18407354 -7.690430 67.842416
    Unten rechts KachelX + 1 3922 KachelY + 1 1970 -0.13345633 1.18407354 -7.646484 67.842416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18436271-1.18407354) × R
    0.000289170000000061 × 6371000     		dl = 1842.30207000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18436271-1.18407354) × R
    0.000289170000000061 × 6371000     		dr = 1842.30207000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13422332--0.13345633) × cos(1.18436271) × R
    0.000766989999999995 × 0.37688742415571 × 6371000     		do = 1841.65786922225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13422332--0.13345633) × cos(1.18407354) × R
    0.000766989999999995 × 0.377155254730462 × 6371000     		du = 1842.96662152863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18436271)-sin(1.18407354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37688742415571-0.377155254730462)×R²
    abs(-0.13345633--0.13422332)×0.000267830574752437×R²
    0.000766989999999995×0.000267830574752437×6371000²
    0.000766989999999995×0.000267830574752437×40589641000000     		ar = 3394095.68689153m²