Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3921 / 1951
↖ ↑ ↗
← N 68.155209°
W  7.690430°		 ← 1 818.23 m → N 68.155209°
W  7.646484°		 →
↑
1 818.86 m
↓
↑
1 818.86 m
↓
N 68.138852°
W  7.690430°		 ← 1 819.53 m →
3 308 282 m²		 N 68.138852°
W  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47869873046875 y=0.23822021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47869873046875 × 213)
    floor (0.47869873046875 × 8192)
    floor (3921.5)     		tx = 3921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23822021484375 × 213)
    floor (0.23822021484375 × 8192)
    floor (1951.5)     		ty = 1951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3921 / 1951 ti = "13/3921/1951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3921/1951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3921 ÷ 213
    3921 ÷ 8192     		x = 0.4786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1951 ÷ 213
    1951 ÷ 8192     		y = 0.2381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13422332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2381591796875 × 2 - 1) × π
    0.523681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64519439496033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13422332} λ = -0.13422332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64519439496033))-π/2
    2×atan(5.18201716706379)-π/2
    2×1.38016456519041-π/2
    2.76032913038081-1.57079632675     		φ = 1.18953280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13422332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18953280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.155209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3921 KachelY 1951 -0.13422332 1.18953280 -7.690430 68.155209
    Oben rechts KachelX + 1 3922 KachelY 1951 -0.13345633 1.18953280 -7.646484 68.155209
    Unten links KachelX 3921 KachelY + 1 1952 -0.13422332 1.18924731 -7.690430 68.138852
    Unten rechts KachelX + 1 3922 KachelY + 1 1952 -0.13345633 1.18924731 -7.646484 68.138852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18953280-1.18924731) × R
    0.000285489999999999 × 6371000     		dl = 1818.85679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18953280-1.18924731) × R
    0.000285489999999999 × 6371000     		dr = 1818.85679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13422332--0.13345633) × cos(1.18953280) × R
    0.000766989999999995 × 0.372093565664068 × 6371000     		do = 1818.23271186963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13422332--0.13345633) × cos(1.18924731) × R
    0.000766989999999995 × 0.372358540952008 × 6371000     		du = 1819.52751183617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18953280)-sin(1.18924731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372093565664068-0.372358540952008)×R²
    abs(-0.13345633--0.13422332)×0.000264975287940172×R²
    0.000766989999999995×0.000264975287940172×6371000²
    0.000766989999999995×0.000264975287940172×40589641000000     		ar = 3308282.46410987m²