Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39208 / 29792
↖ ↑ ↗
← N 16.130262°
E 35.375977°		 ← 586.74 m → N 16.130262°
E 35.381470°		 →
↑
586.77 m
↓
↑
586.77 m
↓
N 16.124985°
E 35.375977°		 ← 586.76 m →
344 287 m²		 N 16.124985°
E 35.381470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598274230957031 y=0.454597473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598274230957031 × 216)
    floor (0.598274230957031 × 65536)
    floor (39208.5)     		tx = 39208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454597473144531 × 216)
    floor (0.454597473144531 × 65536)
    floor (29792.5)     		ty = 29792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39208 / 29792 ti = "16/39208/29792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39208/29792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39208 ÷ 216
    39208 ÷ 65536     		x = 0.5982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29792 ÷ 216
    29792 ÷ 65536     		y = 0.45458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5982666015625 × 2 - 1) × π
    0.196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61742727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45458984375 × 2 - 1) × π
    0.0908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.285320426538574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61742727} λ = 0.61742727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285320426538574))-π/2
    2×atan(1.330188187438)-π/2
    2×0.926161254053217-π/2
    1.85232250810643-1.57079632675     		φ = 0.28152618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61742727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28152618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.130262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39208 KachelY 29792 0.61742727 0.28152618 35.375977 16.130262
    Oben rechts KachelX + 1 39209 KachelY 29792 0.61752314 0.28152618 35.381470 16.130262
    Unten links KachelX 39208 KachelY + 1 29793 0.61742727 0.28143408 35.375977 16.124985
    Unten rechts KachelX + 1 39209 KachelY + 1 29793 0.61752314 0.28143408 35.381470 16.124985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28152618-0.28143408) × R
    9.21000000000394e-05 × 6371000     		dl = 586.769100000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28152618-0.28143408) × R
    9.21000000000394e-05 × 6371000     		dr = 586.769100000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61742727-0.61752314) × cos(0.28152618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96063255075363 × 6371000     		do = 586.742613464208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61742727-0.61752314) × cos(0.28143408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.960658134091977 × 6371000     		du = 586.758239454387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28152618)-sin(0.28143408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96063255075363-0.960658134091977)×R²
    abs(0.61752314-0.61742727)×2.55833383469017e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.55833383469017e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.55833383469017e-05×40589641000000     		ar = 344287.019901535m²