Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39200 / 29798
↖ ↑ ↗
← N 16.098598°
E 35.332031°		 ← 586.84 m → N 16.098598°
E 35.337524°		 →
↑
586.90 m
↓
↑
586.90 m
↓
N 16.093320°
E 35.332031°		 ← 586.85 m →
344 417 m²		 N 16.093320°
E 35.337524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598152160644531 y=0.454689025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598152160644531 × 216)
    floor (0.598152160644531 × 65536)
    floor (39200.5)     		tx = 39200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454689025878906 × 216)
    floor (0.454689025878906 × 65536)
    floor (29798.5)     		ty = 29798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39200 / 29798 ti = "16/39200/29798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39200/29798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39200 ÷ 216
    39200 ÷ 65536     		x = 0.59814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29798 ÷ 216
    29798 ÷ 65536     		y = 0.454681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59814453125 × 2 - 1) × π
    0.1962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61666028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454681396484375 × 2 - 1) × π
    0.09063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.284745183743134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61666028} λ = 0.61666028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.284745183743134))-π/2
    2×atan(1.32942322630688)-π/2
    2×0.925884933510926-π/2
    1.85176986702185-1.57079632675     		φ = 0.28097354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61666028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28097354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.098598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39200 KachelY 29798 0.61666028 0.28097354 35.332031 16.098598
    Oben rechts KachelX + 1 39201 KachelY 29798 0.61675615 0.28097354 35.337524 16.098598
    Unten links KachelX 39200 KachelY + 1 29799 0.61666028 0.28088142 35.332031 16.093320
    Unten rechts KachelX + 1 39201 KachelY + 1 29799 0.61675615 0.28088142 35.337524 16.093320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28097354-0.28088142) × R
    9.21200000000288e-05 × 6371000     		dl = 586.896520000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28097354-0.28088142) × R
    9.21200000000288e-05 × 6371000     		dr = 586.896520000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61666028-0.61675615) × cos(0.28097354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.960785939640578 × 6371000     		do = 586.83630152041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61666028-0.61675615) × cos(0.28088142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.960811479624008 × 6371000     		du = 586.851901029936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28097354)-sin(0.28088142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960785939640578-0.960811479624008)×R²
    abs(0.61675615-0.61666028)×2.55399834305781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.55399834305781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.55399834305781e-05×40589641000000     		ar = 344416.761064448m²