Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3920 / 2128
↖ ↑ ↗
← N 65.072130°
W  7.734375°		 ← 2 059.54 m → N 65.072130°
W  7.690430°		 →
↑
2 060.25 m
↓
↑
2 060.25 m
↓
N 65.053602°
W  7.734375°		 ← 2 060.98 m →
4 244 661 m²		 N 65.053602°
W  7.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47857666015625 y=0.25982666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47857666015625 × 213)
    floor (0.47857666015625 × 8192)
    floor (3920.5)     		tx = 3920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25982666015625 × 213)
    floor (0.25982666015625 × 8192)
    floor (2128.5)     		ty = 2128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3920 / 2128 ti = "13/3920/2128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3920/2128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3920 ÷ 213
    3920 ÷ 8192     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2128 ÷ 213
    2128 ÷ 8192     		y = 0.259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259765625 × 2 - 1) × π
    0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50943709523633))-π/2
    2×atan(4.5241833930257)-π/2
    2×1.35325962402831-π/2
    2.70651924805661-1.57079632675     		φ = 1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3920 KachelY 2128 -0.13499031 1.13572292 -7.734375 65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 3921 KachelY 2128 -0.13422332 1.13572292 -7.690430 65.072130
    Unten links KachelX 3920 KachelY + 1 2129 -0.13499031 1.13539954 -7.734375 65.053602
    Unten rechts KachelX + 1 3921 KachelY + 1 2129 -0.13422332 1.13539954 -7.690430 65.053602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13572292-1.13539954) × R
    0.000323379999999984 × 6371000     		dl = 2060.2539799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13572292-1.13539954) × R
    0.000323379999999984 × 6371000     		dr = 2060.2539799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13422332) × cos(1.13572292) × R
    0.000766989999999995 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 2059.54438899216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13422332) × cos(1.13539954) × R
    0.000766989999999995 × 0.421770202241302 × 6371000     		du = 2060.97726317405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13572292)-sin(1.13539954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.421770202241302)×R²
    abs(-0.13422332--0.13499031)×0.000293231586917686×R²
    0.000766989999999995×0.000293231586917686×6371000²
    0.000766989999999995×0.000293231586917686×40589641000000     		ar = 4244660.60376462m²