Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 392 / 378
↖ ↑ ↗
← S 64.774125°
E 95.625000°		 ← 33.321 km → S 64.774125°
E 96.328125°		 →
↑
33.137 km
↓
↑
33.137 km
↓
S 65.072130°
E 95.625000°		 ← 32.953 km →
1 098.05 km²		 S 65.072130°
E 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7666015625 y=0.7392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7666015625 × 29)
    floor (0.7666015625 × 512)
    floor (392.5)     		tx = 392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7392578125 × 29)
    floor (0.7392578125 × 512)
    floor (378.5)     		ty = 378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 392 / 378 ti = "9/392/378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/392/378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 392 ÷ 29
    392 ÷ 512     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 378 ÷ 29
    378 ÷ 512     		y = 0.73828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73828125 × 2 - 1) × π
    -0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49716524893359))-π/2
    2×atan(0.223763575971781)-π/2
    2×0.220137285001563-π/2
    0.440274570003125-1.57079632675     		φ = -1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 392 KachelY 378 1.66897110 -1.13052176 95.625000 -64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 393 KachelY 378 1.68124294 -1.13052176 96.328125 -64.774125
    Unten links KachelX 392 KachelY + 1 379 1.66897110 -1.13572292 95.625000 -65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 393 KachelY + 1 379 1.68124294 -1.13572292 96.328125 -65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13052176--1.13572292) × R
    0.00520116000000015 × 6371000     		dl = 33136.5903600009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13052176--1.13572292) × R
    0.00520116000000015 × 6371000     		dr = 33136.5903600009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.68124294) × cos(-1.13052176) × R
    0.0122718399999999 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 33321.0261856281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.68124294) × cos(-1.13572292) × R
    0.0122718399999999 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 32952.7102238746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13052176)-sin(-1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.421476970654384)×R²
    abs(1.68124294-1.66897110)×0.004710893117709×R²
    0.0122718399999999×0.004710893117709×6371000²
    0.0122718399999999×0.004710893117709×40589641000000     		ar = 1098045302.88139m²