Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39197 / 30132
↖ ↑ ↗
← N 14.328260°
E 35.315552°		 ← 591.79 m → N 14.328260°
E 35.321045°		 →
↑
591.87 m
↓
↑
591.87 m
↓
N 14.322937°
E 35.315552°		 ← 591.80 m →
350 264 m²		 N 14.322937°
E 35.321045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598106384277344 y=0.459785461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598106384277344 × 216)
    floor (0.598106384277344 × 65536)
    floor (39197.5)     		tx = 39197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459785461425781 × 216)
    floor (0.459785461425781 × 65536)
    floor (30132.5)     		ty = 30132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39197 / 30132 ti = "16/39197/30132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39197/30132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39197 ÷ 216
    39197 ÷ 65536     		x = 0.598098754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30132 ÷ 216
    30132 ÷ 65536     		y = 0.45977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598098754882812 × 2 - 1) × π
    0.196197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61637266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45977783203125 × 2 - 1) × π
    0.0804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.252723334796936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61637266} λ = 0.61637266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.252723334796936))-π/2
    2×atan(1.28752701363141)-π/2
    2×0.910435817122626-π/2
    1.82087163424525-1.57079632675     		φ = 0.25007531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61637266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.315552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25007531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.328260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39197 KachelY 30132 0.61637266 0.25007531 35.315552 14.328260
    Oben rechts KachelX + 1 39198 KachelY 30132 0.61646853 0.25007531 35.321045 14.328260
    Unten links KachelX 39197 KachelY + 1 30133 0.61637266 0.24998241 35.315552 14.322937
    Unten rechts KachelX + 1 39198 KachelY + 1 30133 0.61646853 0.24998241 35.321045 14.322937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25007531-0.24998241) × R
    9.29000000000069e-05 × 6371000     		dl = 591.865900000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25007531-0.24998241) × R
    9.29000000000069e-05 × 6371000     		dr = 591.865900000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61637266-0.61646853) × cos(0.25007531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968893786970851 × 6371000     		do = 591.788475510768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61637266-0.61646853) × cos(0.24998241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968916773396393 × 6371000     		du = 591.802515338365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25007531)-sin(0.24998241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968893786970851-0.968916773396393)×R²
    abs(0.61646853-0.61637266)×2.29864255422152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.29864255422152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.29864255422152e-05×40589641000000     		ar = 350263.573767341m²