Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39196 / 30129
↖ ↑ ↗
← N 14.344226°
E 35.310059°		 ← 591.81 m → N 14.344226°
E 35.315552°		 →
↑
591.74 m
↓
↑
591.74 m
↓
N 14.338904°
E 35.310059°		 ← 591.82 m →
350 200 m²		 N 14.338904°
E 35.315552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598091125488281 y=0.459739685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598091125488281 × 216)
    floor (0.598091125488281 × 65536)
    floor (39196.5)     		tx = 39196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459739685058594 × 216)
    floor (0.459739685058594 × 65536)
    floor (30129.5)     		ty = 30129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39196 / 30129 ti = "16/39196/30129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39196/30129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39196 ÷ 216
    39196 ÷ 65536     		x = 0.59808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30129 ÷ 216
    30129 ÷ 65536     		y = 0.459732055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59808349609375 × 2 - 1) × π
    0.1961669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61627678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459732055664062 × 2 - 1) × π
    0.080535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.253010956194656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61627678} λ = 0.61627678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253010956194656))-π/2
    2×atan(1.2878973872118)-π/2
    2×0.910575149454666-π/2
    1.82115029890933-1.57079632675     		φ = 0.25035397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61627678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.310059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25035397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.344226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39196 KachelY 30129 0.61627678 0.25035397 35.310059 14.344226
    Oben rechts KachelX + 1 39197 KachelY 30129 0.61637266 0.25035397 35.315552 14.344226
    Unten links KachelX 39196 KachelY + 1 30130 0.61627678 0.25026109 35.310059 14.338904
    Unten rechts KachelX + 1 39197 KachelY + 1 30130 0.61637266 0.25026109 35.315552 14.338904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25035397-0.25026109) × R
    9.28799999999619e-05 × 6371000     		dl = 591.738479999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25035397-0.25026109) × R
    9.28799999999619e-05 × 6371000     		dr = 591.738479999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61627678-0.61637266) × cos(0.25035397) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.968824787433192 × 6371000     		do = 591.808055264548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61627678-0.61637266) × cos(0.25026109) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.968847793987252 × 6371000     		du = 591.822108852145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25035397)-sin(0.25026109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968824787433192-0.968847793987252)×R²
    abs(0.61637266-0.61627678)×2.30065540600677e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.30065540600677e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.30065540600677e-05×40589641000000     		ar = 350199.757349885m²