Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39195 / 30131
↖ ↑ ↗
← N 14.333582°
E 35.304566°		 ← 591.77 m → N 14.333582°
E 35.310059°		 →
↑
591.80 m
↓
↑
591.80 m
↓
N 14.328260°
E 35.304566°		 ← 591.79 m →
350 218 m²		 N 14.328260°
E 35.310059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598075866699219 y=0.459770202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598075866699219 × 216)
    floor (0.598075866699219 × 65536)
    floor (39195.5)     		tx = 39195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459770202636719 × 216)
    floor (0.459770202636719 × 65536)
    floor (30131.5)     		ty = 30131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39195 / 30131 ti = "16/39195/30131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39195/30131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39195 ÷ 216
    39195 ÷ 65536     		x = 0.598068237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30131 ÷ 216
    30131 ÷ 65536     		y = 0.459762573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598068237304688 × 2 - 1) × π
    0.196136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61618091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459762573242188 × 2 - 1) × π
    0.080474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.252819208596176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61618091} λ = 0.61618091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.252819208596176))-π/2
    2×atan(1.28765045965536)-π/2
    2×0.910482262335803-π/2
    1.82096452467161-1.57079632675     		φ = 0.25016820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61618091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.304566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25016820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.333582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39195 KachelY 30131 0.61618091 0.25016820 35.304566 14.333582
    Oben rechts KachelX + 1 39196 KachelY 30131 0.61627678 0.25016820 35.310059 14.333582
    Unten links KachelX 39195 KachelY + 1 30132 0.61618091 0.25007531 35.304566 14.328260
    Unten rechts KachelX + 1 39196 KachelY + 1 30132 0.61627678 0.25007531 35.310059 14.328260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25016820-0.25007531) × R
    9.28900000000121e-05 × 6371000     		dl = 591.802190000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25016820-0.25007531) × R
    9.28900000000121e-05 × 6371000     		dr = 591.802190000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61618091-0.61627678) × cos(0.25016820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968870794659027 × 6371000     		do = 591.774432087902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61618091-0.61627678) × cos(0.25007531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968893786970851 × 6371000     		du = 591.788475510768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25016820)-sin(0.25007531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968870794659027-0.968893786970851)×R²
    abs(0.61627678-0.61618091)×2.29923118234554e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.29923118234554e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.29923118234554e-05×40589641000000     		ar = 350217.56061173m²