Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39192 / 30152
↖ ↑ ↗
← N 14.221789°
E 35.288086°		 ← 592.07 m → N 14.221789°
E 35.293579°		 →
↑
592.12 m
↓
↑
592.12 m
↓
N 14.216464°
E 35.288086°		 ← 592.08 m →
350 580 m²		 N 14.216464°
E 35.293579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598030090332031 y=0.460090637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598030090332031 × 216)
    floor (0.598030090332031 × 65536)
    floor (39192.5)     		tx = 39192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460090637207031 × 216)
    floor (0.460090637207031 × 65536)
    floor (30152.5)     		ty = 30152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39192 / 30152 ti = "16/39192/30152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39192/30152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39192 ÷ 216
    39192 ÷ 65536     		x = 0.5980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30152 ÷ 216
    30152 ÷ 65536     		y = 0.4600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5980224609375 × 2 - 1) × π
    0.196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61589329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4600830078125 × 2 - 1) × π
    0.079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.250805858812134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61589329} λ = 0.61589329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250805858812134))-π/2
    2×atan(1.28506057692526)-π/2
    2×0.909506681938087-π/2
    1.81901336387617-1.57079632675     		φ = 0.24821704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61589329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.288086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24821704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.221789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39192 KachelY 30152 0.61589329 0.24821704 35.288086 14.221789
    Oben rechts KachelX + 1 39193 KachelY 30152 0.61598916 0.24821704 35.293579 14.221789
    Unten links KachelX 39192 KachelY + 1 30153 0.61589329 0.24812410 35.288086 14.216464
    Unten rechts KachelX + 1 39193 KachelY + 1 30153 0.61598916 0.24812410 35.293579 14.216464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24821704-0.24812410) × R
    9.29400000000136e-05 × 6371000     		dl = 592.120740000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24821704-0.24812410) × R
    9.29400000000136e-05 × 6371000     		dr = 592.120740000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61589329-0.61598916) × cos(0.24821704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969351992780225 × 6371000     		do = 592.068342015277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61589329-0.61598916) × cos(0.24812410) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969374821724314 × 6371000     		du = 592.082285655128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24821704)-sin(0.24812410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969351992780225-0.969374821724314)×R²
    abs(0.61598916-0.61589329)×2.2828944089337e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2828944089337e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2828944089337e-05×40589641000000     		ar = 350580.073216182m²