Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3919 / 4686
↖ ↑ ↗
← S 25.085599°
W  7.778320°		 ← 4 425.58 m → S 25.085599°
W  7.734375°		 →
↑
4 424.85 m
↓
↑
4 424.85 m
↓
S 25.125393°
W  7.778320°		 ← 4 424.14 m →
19 579 331 m²		 S 25.125393°
W  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47845458984375 y=0.57208251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47845458984375 × 213)
    floor (0.47845458984375 × 8192)
    floor (3919.5)     		tx = 3919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57208251953125 × 213)
    floor (0.57208251953125 × 8192)
    floor (4686.5)     		ty = 4686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3919 / 4686 ti = "13/3919/4686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3919/4686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3919 ÷ 213
    3919 ÷ 8192     		x = 0.4783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4686 ÷ 213
    4686 ÷ 8192     		y = 0.572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.14404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.45252433241333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13575730} λ = -0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.45252433241333))-π/2
    2×atan(0.636020596066925)-π/2
    2×0.566485015609086-π/2
    1.13297003121817-1.57079632675     		φ = -0.43782630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43782630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.085599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3919 KachelY 4686 -0.13575730 -0.43782630 -7.778320 -25.085599
    Oben rechts KachelX + 1 3920 KachelY 4686 -0.13499031 -0.43782630 -7.734375 -25.085599
    Unten links KachelX 3919 KachelY + 1 4687 -0.13575730 -0.43852083 -7.778320 -25.125393
    Unten rechts KachelX + 1 3920 KachelY + 1 4687 -0.13499031 -0.43852083 -7.734375 -25.125393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43782630--0.43852083) × R
    0.000694529999999971 × 6371000     		dl = 4424.85062999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43782630--0.43852083) × R
    0.000694529999999971 × 6371000     		dr = 4424.85062999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13575730--0.13499031) × cos(-0.43782630) × R
    0.000766989999999995 × 0.905675389643908 × 6371000     		do = 4425.57671441306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13575730--0.13499031) × cos(-0.43852083) × R
    0.000766989999999995 × 0.905380710096002 × 6371000     		du = 4424.13676477952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43782630)-sin(-0.43852083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905675389643908-0.905380710096002)×R²
    abs(-0.13499031--0.13575730)×0.000294679547905852×R²
    0.000766989999999995×0.000294679547905852×6371000²
    0.000766989999999995×0.000294679547905852×40589641000000     		ar = 19579330.9189045m²