Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3919 / 1652
↖ ↑ ↗
← N 72.554499°
W  7.778320°		 ← 1 464.96 m → N 72.554499°
W  7.734375°		 →
↑
1 465.52 m
↓
↑
1 465.52 m
↓
N 72.541319°
W  7.778320°		 ← 1 466.04 m →
2 147 721 m²		 N 72.541319°
W  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47845458984375 y=0.20172119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47845458984375 × 213)
    floor (0.47845458984375 × 8192)
    floor (3919.5)     		tx = 3919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20172119140625 × 213)
    floor (0.20172119140625 × 8192)
    floor (1652.5)     		ty = 1652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3919 / 1652 ti = "13/3919/1652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3919/1652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3919 ÷ 213
    3919 ÷ 8192     		x = 0.4783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1652 ÷ 213
    1652 ÷ 8192     		y = 0.20166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20166015625 × 2 - 1) × π
    0.5966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87452452274268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13575730} λ = -0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87452452274268))-π/2
    2×atan(6.51771935613136)-π/2
    2×1.41855560633935-π/2
    2.8371112126787-1.57079632675     		φ = 1.26631489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26631489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.554499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3919 KachelY 1652 -0.13575730 1.26631489 -7.778320 72.554499
    Oben rechts KachelX + 1 3920 KachelY 1652 -0.13499031 1.26631489 -7.734375 72.554499
    Unten links KachelX 3919 KachelY + 1 1653 -0.13575730 1.26608486 -7.778320 72.541319
    Unten rechts KachelX + 1 3920 KachelY + 1 1653 -0.13499031 1.26608486 -7.734375 72.541319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26631489-1.26608486) × R
    0.000230029999999992 × 6371000     		dl = 1465.52112999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26631489-1.26608486) × R
    0.000230029999999992 × 6371000     		dr = 1465.52112999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13575730--0.13499031) × cos(1.26631489) × R
    0.000766989999999995 × 0.299798504922941 × 6371000     		do = 1464.96338265797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13575730--0.13499031) × cos(1.26608486) × R
    0.000766989999999995 × 0.300017946194763 × 6371000     		du = 1466.03568096028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26631489)-sin(1.26608486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299798504922941-0.300017946194763)×R²
    abs(-0.13499031--0.13575730)×0.000219441271821719×R²
    0.000766989999999995×0.000219441271821719×6371000²
    0.000766989999999995×0.000219441271821719×40589641000000     		ar = 2147720.53934318m²