Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39183 / 30609
↖ ↑ ↗
← N 11.775948°
E 35.238647°		 ← 597.99 m → N 11.775948°
E 35.244141°		 →
↑
597.98 m
↓
↑
597.98 m
↓
N 11.770570°
E 35.238647°		 ← 598.01 m →
357 594 m²		 N 11.770570°
E 35.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597892761230469 y=0.467063903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597892761230469 × 216)
    floor (0.597892761230469 × 65536)
    floor (39183.5)     		tx = 39183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467063903808594 × 216)
    floor (0.467063903808594 × 65536)
    floor (30609.5)     		ty = 30609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39183 / 30609 ti = "16/39183/30609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39183/30609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39183 ÷ 216
    39183 ÷ 65536     		x = 0.597885131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30609 ÷ 216
    30609 ÷ 65536     		y = 0.467056274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597885131835938 × 2 - 1) × π
    0.195770263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61503042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467056274414062 × 2 - 1) × π
    0.065887451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.206991532559402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61503042} λ = 0.61503042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206991532559402))-π/2
    2×atan(1.22997215702048)-π/2
    2×0.888162694207766-π/2
    1.77632538841553-1.57079632675     		φ = 0.20552906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61503042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.238647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20552906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.775948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39183 KachelY 30609 0.61503042 0.20552906 35.238647 11.775948
    Oben rechts KachelX + 1 39184 KachelY 30609 0.61512630 0.20552906 35.244141 11.775948
    Unten links KachelX 39183 KachelY + 1 30610 0.61503042 0.20543520 35.238647 11.770570
    Unten rechts KachelX + 1 39184 KachelY + 1 30610 0.61512630 0.20543520 35.244141 11.770570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20552906-0.20543520) × R
    9.38600000000012e-05 × 6371000     		dl = 597.982060000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20552906-0.20543520) × R
    9.38600000000012e-05 × 6371000     		dr = 597.982060000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61503042-0.61512630) × cos(0.20552906) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.978953148261134 × 6371000     		do = 597.994979466273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61503042-0.61512630) × cos(0.20543520) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.978972299377707 × 6371000     		du = 598.006677954176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20552906)-sin(0.20543520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978953148261134-0.978972299377707)×R²
    abs(0.61512630-0.61503042)×1.91511165735792e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.91511165735792e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.91511165735792e-05×40589641000000     		ar = 357593.767696407m²