Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3918 / 4760
↖ ↑ ↗
← S 27.994402°
W  7.822266°		 ← 4 314.74 m → S 27.994402°
W  7.778320°		 →
↑
4 313.93 m
↓
↑
4 313.93 m
↓
S 28.033198°
W  7.822266°		 ← 4 313.19 m →
18 610 149 m²		 S 28.033198°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47833251953125 y=0.58111572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47833251953125 × 213)
    floor (0.47833251953125 × 8192)
    floor (3918.5)     		tx = 3918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58111572265625 × 213)
    floor (0.58111572265625 × 8192)
    floor (4760.5)     		ty = 4760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3918 / 4760 ti = "13/3918/4760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3918/4760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3918 ÷ 213
    3918 ÷ 8192     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4760 ÷ 213
    4760 ÷ 8192     		y = 0.5810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509281621563477))-π/2
    2×atan(0.600927116872572)-π/2
    2×0.541100925030024-π/2
    1.08220185006005-1.57079632675     		φ = -0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3918 KachelY 4760 -0.13652429 -0.48859448 -7.822266 -27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 3919 KachelY 4760 -0.13575730 -0.48859448 -7.778320 -27.994402
    Unten links KachelX 3918 KachelY + 1 4761 -0.13652429 -0.48927160 -7.822266 -28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 3919 KachelY + 1 4761 -0.13575730 -0.48927160 -7.778320 -28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48859448--0.48927160) × R
    0.000677119999999976 × 6371000     		dl = 4313.93151999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48859448--0.48927160) × R
    0.000677119999999976 × 6371000     		dr = 4313.93151999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13575730) × cos(-0.48859448) × R
    0.000766989999999995 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 4314.741622156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13575730) × cos(-0.48927160) × R
    0.000766989999999995 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 4313.18755816651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48859448)-sin(-0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.882675428408608)×R²
    abs(-0.13575730--0.13652429)×0.000318032563898618×R²
    0.000766989999999995×0.000318032563898618×6371000²
    0.000766989999999995×0.000318032563898618×40589641000000     		ar = 18610148.5327089m²