Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3918 / 4685
↖ ↑ ↗
← S 25.045792°
W  7.822266°		 ← 4 427.02 m → S 25.045792°
W  7.778320°		 →
↑
4 426.32 m
↓
↑
4 426.32 m
↓
S 25.085599°
W  7.822266°		 ← 4 425.58 m →
19 592 185 m²		 S 25.085599°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47833251953125 y=0.57196044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47833251953125 × 213)
    floor (0.47833251953125 × 8192)
    floor (3918.5)     		tx = 3918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57196044921875 × 213)
    floor (0.57196044921875 × 8192)
    floor (4685.5)     		ty = 4685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3918 / 4685 ti = "13/3918/4685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3918/4685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3918 ÷ 213
    3918 ÷ 8192     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4685 ÷ 213
    4685 ÷ 8192     		y = 0.5718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5718994140625 × 2 - 1) × π
    -0.143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.451757342019409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.451757342019409))-π/2
    2×atan(0.636508604879557)-π/2
    2×0.566832394221426-π/2
    1.13366478844285-1.57079632675     		φ = -0.43713154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43713154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.045792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3918 KachelY 4685 -0.13652429 -0.43713154 -7.822266 -25.045792
    Oben rechts KachelX + 1 3919 KachelY 4685 -0.13575730 -0.43713154 -7.778320 -25.045792
    Unten links KachelX 3918 KachelY + 1 4686 -0.13652429 -0.43782630 -7.822266 -25.085599
    Unten rechts KachelX + 1 3919 KachelY + 1 4686 -0.13575730 -0.43782630 -7.778320 -25.085599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43713154--0.43782630) × R
    0.000694760000000016 × 6371000     		dl = 4426.31596000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43713154--0.43782630) × R
    0.000694760000000016 × 6371000     		dr = 4426.31596000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13575730) × cos(-0.43713154) × R
    0.000766989999999995 × 0.905969729688246 × 6371000     		do = 4427.0150050647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13575730) × cos(-0.43782630) × R
    0.000766989999999995 × 0.905675389643908 × 6371000     		du = 4425.57671441306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43713154)-sin(-0.43782630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905969729688246-0.905675389643908)×R²
    abs(-0.13575730--0.13652429)×0.000294340044338481×R²
    0.000766989999999995×0.000294340044338481×6371000²
    0.000766989999999995×0.000294340044338481×40589641000000     		ar = 19592184.7957277m²