Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3918 / 4172
↖ ↑ ↗
← N 79.013340°
W136.955566°		 ← 232.81 m → N 79.013340°
W136.944580°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
N 79.011247°
W136.955566°		 ← 232.85 m →
54 202 m²		 N 79.011247°
W136.944580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119583129882812 y=0.127334594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119583129882812 × 215)
    floor (0.119583129882812 × 32768)
    floor (3918.5)     		tx = 3918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127334594726562 × 215)
    floor (0.127334594726562 × 32768)
    floor (4172.5)     		ty = 4172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3918 / 4172 ti = "15/3918/4172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3918/4172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3918 ÷ 215
    3918 ÷ 32768     		x = 0.11956787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4172 ÷ 215
    4172 ÷ 32768     		y = 0.1273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11956787109375 × 2 - 1) × π
    -0.7608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39032556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1273193359375 × 2 - 1) × π
    0.745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3416216726405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39032556} λ = -2.39032556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3416216726405))-π/2
    2×atan(10.398085187825)-π/2
    2×1.47491963514881-π/2
    2.94983927029762-1.57079632675     		φ = 1.37904294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39032556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.955566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37904294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.013340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3918 KachelY 4172 -2.39032556 1.37904294 -136.955566 79.013340
    Oben rechts KachelX + 1 3919 KachelY 4172 -2.39013382 1.37904294 -136.944580 79.013340
    Unten links KachelX 3918 KachelY + 1 4173 -2.39032556 1.37900640 -136.955566 79.011247
    Unten rechts KachelX + 1 3919 KachelY + 1 4173 -2.39013382 1.37900640 -136.944580 79.011247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37904294-1.37900640) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37904294-1.37900640) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39032556--2.39013382) × cos(1.37904294) × R
    0.000191739999999996 × 0.190580437042093 × 6371000     		do = 232.808400293125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39032556--2.39013382) × cos(1.37900640) × R
    0.000191739999999996 × 0.190616307194502 × 6371000     		du = 232.852218393924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37904294)-sin(1.37900640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190580437042093-0.190616307194502)×R²
    abs(-2.39013382--2.39032556)×3.58701524087457e-05×R²
    0.000191739999999996×3.58701524087457e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.58701524087457e-05×40589641000000     		ar = 54202.0438622739m²