Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3918 / 4142
↖ ↑ ↗
← N 79.075977°
W136.955566°		 ← 231.50 m → N 79.075977°
W136.944580°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
N 79.073894°
W136.955566°		 ← 231.54 m →
53 602 m²		 N 79.073894°
W136.944580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119583129882812 y=0.126419067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119583129882812 × 215)
    floor (0.119583129882812 × 32768)
    floor (3918.5)     		tx = 3918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126419067382812 × 215)
    floor (0.126419067382812 × 32768)
    floor (4142.5)     		ty = 4142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3918 / 4142 ti = "15/3918/4142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3918/4142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3918 ÷ 215
    3918 ÷ 32768     		x = 0.11956787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4142 ÷ 215
    4142 ÷ 32768     		y = 0.12640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11956787109375 × 2 - 1) × π
    -0.7608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39032556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12640380859375 × 2 - 1) × π
    0.7471923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34737410059491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39032556} λ = -2.39032556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34737410059491))-π/2
    2×atan(10.4580717926278)-π/2
    2×1.4754662403554-π/2
    2.9509324807108-1.57079632675     		φ = 1.38013615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39032556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.955566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38013615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.075977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3918 KachelY 4142 -2.39032556 1.38013615 -136.955566 79.075977
    Oben rechts KachelX + 1 3919 KachelY 4142 -2.39013382 1.38013615 -136.944580 79.075977
    Unten links KachelX 3918 KachelY + 1 4143 -2.39032556 1.38009981 -136.955566 79.073894
    Unten rechts KachelX + 1 3919 KachelY + 1 4143 -2.39013382 1.38009981 -136.944580 79.073894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38013615-1.38009981) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dl = 231.522140000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38013615-1.38009981) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dr = 231.522140000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39032556--2.39013382) × cos(1.38013615) × R
    0.000191739999999996 × 0.189507150182418 × 6371000     		do = 231.497299317943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39032556--2.39013382) × cos(1.38009981) × R
    0.000191739999999996 × 0.189542831552526 × 6371000     		du = 231.540886806901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38013615)-sin(1.38009981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189507150182418-0.189542831552526)×R²
    abs(-2.39013382--2.39032556)×3.56813701083147e-05×R²
    0.000191739999999996×3.56813701083147e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.56813701083147e-05×40589641000000     		ar = 53601.7958826546m²