Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3918 / 2473
↖ ↑ ↗
← N 57.868132°
W  7.822266°		 ← 2 598.98 m → N 57.868132°
W  7.778320°		 →
↑
2 599.81 m
↓
↑
2 599.81 m
↓
N 57.844751°
W  7.822266°		 ← 2 600.67 m →
6 759 053 m²		 N 57.844751°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47833251953125 y=0.30194091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47833251953125 × 213)
    floor (0.47833251953125 × 8192)
    floor (3918.5)     		tx = 3918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30194091796875 × 213)
    floor (0.30194091796875 × 8192)
    floor (2473.5)     		ty = 2473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3918 / 2473 ti = "13/3918/2473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3918/2473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3918 ÷ 213
    3918 ÷ 8192     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2473 ÷ 213
    2473 ÷ 8192     		y = 0.3018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3018798828125 × 2 - 1) × π
    0.396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24482540933362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24482540933362))-π/2
    2×atan(3.47232851026366)-π/2
    2×1.29039287901199-π/2
    2.58078575802397-1.57079632675     		φ = 1.00998943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00998943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.868132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3918 KachelY 2473 -0.13652429 1.00998943 -7.822266 57.868132
    Oben rechts KachelX + 1 3919 KachelY 2473 -0.13575730 1.00998943 -7.778320 57.868132
    Unten links KachelX 3918 KachelY + 1 2474 -0.13652429 1.00958136 -7.822266 57.844751
    Unten rechts KachelX + 1 3919 KachelY + 1 2474 -0.13575730 1.00958136 -7.778320 57.844751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00998943-1.00958136) × R
    0.000408069999999983 × 6371000     		dl = 2599.81396999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00998943-1.00958136) × R
    0.000408069999999983 × 6371000     		dr = 2599.81396999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13575730) × cos(1.00998943) × R
    0.000766989999999995 × 0.531869672357242 × 6371000     		do = 2598.97758512814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13575730) × cos(1.00958136) × R
    0.000766989999999995 × 0.532215192440623 × 6371000     		du = 2600.66596669715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00998943)-sin(1.00958136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531869672357242-0.532215192440623)×R²
    abs(-0.13575730--0.13652429)×0.000345520083381068×R²
    0.000766989999999995×0.000345520083381068×6371000²
    0.000766989999999995×0.000345520083381068×40589641000000     		ar = 6759053.06632061m²