Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39177 / 29945
↖ ↑ ↗
← N 15.321274°
E 35.205689°		 ← 589.08 m → N 15.321274°
E 35.211181°		 →
↑
589.13 m
↓
↑
589.13 m
↓
N 15.315976°
E 35.205689°		 ← 589.09 m →
347 047 m²		 N 15.315976°
E 35.211181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597801208496094 y=0.456932067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597801208496094 × 216)
    floor (0.597801208496094 × 65536)
    floor (39177.5)     		tx = 39177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456932067871094 × 216)
    floor (0.456932067871094 × 65536)
    floor (29945.5)     		ty = 29945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39177 / 29945 ti = "16/39177/29945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39177/29945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39177 ÷ 216
    39177 ÷ 65536     		x = 0.597793579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29945 ÷ 216
    29945 ÷ 65536     		y = 0.456924438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597793579101562 × 2 - 1) × π
    0.195587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61445518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456924438476562 × 2 - 1) × π
    0.086151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.270651735254837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61445518} λ = 0.61445518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270651735254837))-π/2
    2×atan(1.31081847901831)-π/2
    2×0.919101501276155-π/2
    1.83820300255231-1.57079632675     		φ = 0.26740668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61445518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.205689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26740668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.321274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39177 KachelY 29945 0.61445518 0.26740668 35.205689 15.321274
    Oben rechts KachelX + 1 39178 KachelY 29945 0.61455105 0.26740668 35.211181 15.321274
    Unten links KachelX 39177 KachelY + 1 29946 0.61445518 0.26731421 35.205689 15.315976
    Unten rechts KachelX + 1 39178 KachelY + 1 29946 0.61455105 0.26731421 35.211181 15.315976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26740668-0.26731421) × R
    9.24700000000112e-05 × 6371000     		dl = 589.126370000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26740668-0.26731421) × R
    9.24700000000112e-05 × 6371000     		dr = 589.126370000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61445518-0.61455105) × cos(0.26740668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964459374733403 × 6371000     		do = 589.079990748997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61445518-0.61455105) × cos(0.26731421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964483804066832 × 6371000     		du = 589.094911887084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26740668)-sin(0.26731421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964459374733403-0.964483804066832)×R²
    abs(0.61455105-0.61445518)×2.44293334288326e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.44293334288326e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.44293334288326e-05×40589641000000     		ar = 347046.952054691m²