Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39176 / 29944
↖ ↑ ↗
← N 15.326572°
E 35.200196°		 ← 589.07 m → N 15.326572°
E 35.205689°		 →
↑
589.06 m
↓
↑
589.06 m
↓
N 15.321274°
E 35.200196°		 ← 589.08 m →
347 001 m²		 N 15.321274°
E 35.205689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597785949707031 y=0.456916809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597785949707031 × 216)
    floor (0.597785949707031 × 65536)
    floor (39176.5)     		tx = 39176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456916809082031 × 216)
    floor (0.456916809082031 × 65536)
    floor (29944.5)     		ty = 29944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39176 / 29944 ti = "16/39176/29944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39176/29944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39176 ÷ 216
    39176 ÷ 65536     		x = 0.5977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29944 ÷ 216
    29944 ÷ 65536     		y = 0.4569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5977783203125 × 2 - 1) × π
    0.195556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61435931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4569091796875 × 2 - 1) × π
    0.086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.270747609054077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61435931} λ = 0.61435931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270747609054077))-π/2
    2×atan(1.31094415819059)-π/2
    2×0.919147733882773-π/2
    1.83829546776555-1.57079632675     		φ = 0.26749914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61435931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.200196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26749914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.326572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39176 KachelY 29944 0.61435931 0.26749914 35.200196 15.326572
    Oben rechts KachelX + 1 39177 KachelY 29944 0.61445518 0.26749914 35.205689 15.326572
    Unten links KachelX 39176 KachelY + 1 29945 0.61435931 0.26740668 35.200196 15.321274
    Unten rechts KachelX + 1 39177 KachelY + 1 29945 0.61445518 0.26740668 35.205689 15.321274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26749914-0.26740668) × R
    9.24600000000164e-05 × 6371000     		dl = 589.062660000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26749914-0.26740668) × R
    9.24600000000164e-05 × 6371000     		dr = 589.062660000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61435931-0.61445518) × cos(0.26749914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964434939796374 × 6371000     		do = 589.065066188299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61435931-0.61445518) × cos(0.26740668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964459374733403 × 6371000     		du = 589.079990748997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26749914)-sin(0.26740668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964434939796374-0.964459374733403)×R²
    abs(0.61445518-0.61435931)×2.4434937028972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.4434937028972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.4434937028972e-05×40589641000000     		ar = 347000.630799984m²