Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39174 / 29438
↖ ↑ ↗
← N 17.989183°
E 35.189209°		 ← 580.93 m → N 17.989183°
E 35.194702°		 →
↑
580.97 m
↓
↑
580.97 m
↓
N 17.983958°
E 35.189209°		 ← 580.95 m →
337 508 m²		 N 17.983958°
E 35.194702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597755432128906 y=0.449195861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597755432128906 × 216)
    floor (0.597755432128906 × 65536)
    floor (39174.5)     		tx = 39174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449195861816406 × 216)
    floor (0.449195861816406 × 65536)
    floor (29438.5)     		ty = 29438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39174 / 29438 ti = "16/39174/29438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39174/29438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39174 ÷ 216
    39174 ÷ 65536     		x = 0.597747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29438 ÷ 216
    29438 ÷ 65536     		y = 0.449188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597747802734375 × 2 - 1) × π
    0.19549560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61416756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449188232421875 × 2 - 1) × π
    0.10162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319259751469574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61416756} λ = 0.61416756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319259751469574))-π/2
    2×atan(1.37610872475001)-π/2
    2×0.942383397013353-π/2
    1.88476679402671-1.57079632675     		φ = 0.31397047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61416756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.189209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31397047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.989183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39174 KachelY 29438 0.61416756 0.31397047 35.189209 17.989183
    Oben rechts KachelX + 1 39175 KachelY 29438 0.61426343 0.31397047 35.194702 17.989183
    Unten links KachelX 39174 KachelY + 1 29439 0.61416756 0.31387928 35.189209 17.983958
    Unten rechts KachelX + 1 39175 KachelY + 1 29439 0.61426343 0.31387928 35.194702 17.983958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31397047-0.31387928) × R
    9.11900000000188e-05 × 6371000     		dl = 580.97149000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31397047-0.31387928) × R
    9.11900000000188e-05 × 6371000     		dr = 580.97149000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61416756-0.61426343) × cos(0.31397047) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.95111484031961 × 6371000     		do = 580.929312333381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61416756-0.61426343) × cos(0.31387928) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.951142999250608 × 6371000     		du = 580.94651146405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31397047)-sin(0.31387928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95111484031961-0.951142999250608)×R²
    abs(0.61426343-0.61416756)×2.81589309973906e-05×R²
    9.58700000001089e-05×2.81589309973906e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×2.81589309973906e-05×40589641000000     		ar = 337508.364507201m²