Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3917 / 4765
↖ ↑ ↗
← S 28.188244°
W  7.866211°		 ← 4 306.96 m → S 28.188244°
W  7.822266°		 →
↑
4 306.16 m
↓
↑
4 306.16 m
↓
S 28.226970°
W  7.866211°		 ← 4 305.40 m →
18 543 081 m²		 S 28.226970°
W  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47821044921875 y=0.58172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47821044921875 × 213)
    floor (0.47821044921875 × 8192)
    floor (3917.5)     		tx = 3917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58172607421875 × 213)
    floor (0.58172607421875 × 8192)
    floor (4765.5)     		ty = 4765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3917 / 4765 ti = "13/3917/4765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3917/4765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3917 ÷ 213
    3917 ÷ 8192     		x = 0.4781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4765 ÷ 213
    4765 ÷ 8192     		y = 0.5816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13729128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.513116573533081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13729128} λ = -0.13729128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513116573533081))-π/2
    2×atan(0.598627003473291)-π/2
    2×0.539409332451589-π/2
    1.07881866490318-1.57079632675     		φ = -0.49197766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13729128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49197766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.188244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3917 KachelY 4765 -0.13729128 -0.49197766 -7.866211 -28.188244
    Oben rechts KachelX + 1 3918 KachelY 4765 -0.13652429 -0.49197766 -7.822266 -28.188244
    Unten links KachelX 3917 KachelY + 1 4766 -0.13729128 -0.49265356 -7.866211 -28.226970
    Unten rechts KachelX + 1 3918 KachelY + 1 4766 -0.13652429 -0.49265356 -7.822266 -28.226970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49197766--0.49265356) × R
    0.000675900000000007 × 6371000     		dl = 4306.15890000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49197766--0.49265356) × R
    0.000675900000000007 × 6371000     		dr = 4306.15890000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13729128--0.13652429) × cos(-0.49197766) × R
    0.000766989999999995 × 0.88140039576013 × 6371000     		do = 4306.95711968519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13729128--0.13652429) × cos(-0.49265356) × R
    0.000766989999999995 × 0.881080919624945 × 6371000     		du = 4305.3960016943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49197766)-sin(-0.49265356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88140039576013-0.881080919624945)×R²
    abs(-0.13652429--0.13729128)×0.000319476135185126×R²
    0.000766989999999995×0.000319476135185126×6371000²
    0.000766989999999995×0.000319476135185126×40589641000000     		ar = 18543081.2277209m²