Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39162 / 29929
↖ ↑ ↗
← N 15.406024°
E 35.123291°		 ← 588.90 m → N 15.406024°
E 35.128784°		 →
↑
588.87 m
↓
↑
588.87 m
↓
N 15.400728°
E 35.123291°		 ← 588.92 m →
346 792 m²		 N 15.400728°
E 35.128784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597572326660156 y=0.456687927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597572326660156 × 216)
    floor (0.597572326660156 × 65536)
    floor (39162.5)     		tx = 39162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456687927246094 × 216)
    floor (0.456687927246094 × 65536)
    floor (29929.5)     		ty = 29929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39162 / 29929 ti = "16/39162/29929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39162/29929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39162 ÷ 216
    39162 ÷ 65536     		x = 0.597564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29929 ÷ 216
    29929 ÷ 65536     		y = 0.456680297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597564697265625 × 2 - 1) × π
    0.19512939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61301707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456680297851562 × 2 - 1) × π
    0.086639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.272185716042679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61301707} λ = 0.61301707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272185716042679))-π/2
    2×atan(1.31283079241192)-π/2
    2×0.919841082187347-π/2
    1.83968216437469-1.57079632675     		φ = 0.26888584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61301707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.123291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26888584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.406024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39162 KachelY 29929 0.61301707 0.26888584 35.123291 15.406024
    Oben rechts KachelX + 1 39163 KachelY 29929 0.61311295 0.26888584 35.128784 15.406024
    Unten links KachelX 39162 KachelY + 1 29930 0.61301707 0.26879341 35.123291 15.400728
    Unten rechts KachelX + 1 39163 KachelY + 1 29930 0.61311295 0.26879341 35.128784 15.400728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26888584-0.26879341) × R
    9.24299999999767e-05 × 6371000     		dl = 588.871529999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26888584-0.26879341) × R
    9.24299999999767e-05 × 6371000     		dr = 588.871529999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61301707-0.61311295) × cos(0.26888584) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964067479612261 × 6371000     		do = 588.902046740633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61301707-0.61311295) × cos(0.26879341) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964092030214606 × 6371000     		du = 588.91704351241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26888584)-sin(0.26879341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964067479612261-0.964092030214606)×R²
    abs(0.61311295-0.61301707)×2.45506023451858e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.45506023451858e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.45506023451858e-05×40589641000000     		ar = 346792.065117202m²