Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39161 / 29930
↖ ↑ ↗
← N 15.400728°
E 35.117798°		 ← 588.86 m → N 15.400728°
E 35.123291°		 →
↑
588.87 m
↓
↑
588.87 m
↓
N 15.395432°
E 35.117798°		 ← 588.87 m →
346 765 m²		 N 15.395432°
E 35.123291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597557067871094 y=0.456703186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597557067871094 × 216)
    floor (0.597557067871094 × 65536)
    floor (39161.5)     		tx = 39161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456703186035156 × 216)
    floor (0.456703186035156 × 65536)
    floor (29930.5)     		ty = 29930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39161 / 29930 ti = "16/39161/29930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39161/29930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39161 ÷ 216
    39161 ÷ 65536     		x = 0.597549438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29930 ÷ 216
    29930 ÷ 65536     		y = 0.456695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597549438476562 × 2 - 1) × π
    0.195098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61292120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456695556640625 × 2 - 1) × π
    0.08660888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.272089842243439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61292120} λ = 0.61292120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272089842243439))-π/2
    2×atan(1.31270493236953)-π/2
    2×0.919794867192849-π/2
    1.8395897343857-1.57079632675     		φ = 0.26879341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61292120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.117798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26879341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.400728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39161 KachelY 29930 0.61292120 0.26879341 35.117798 15.400728
    Oben rechts KachelX + 1 39162 KachelY 29930 0.61301707 0.26879341 35.123291 15.400728
    Unten links KachelX 39161 KachelY + 1 29931 0.61292120 0.26870098 35.117798 15.395432
    Unten rechts KachelX + 1 39162 KachelY + 1 29931 0.61301707 0.26870098 35.123291 15.395432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26879341-0.26870098) × R
    9.24300000000322e-05 × 6371000     		dl = 588.871530000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26879341-0.26870098) × R
    9.24300000000322e-05 × 6371000     		dr = 588.871530000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61292120-0.61301707) × cos(0.26879341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964092030214606 × 6371000     		do = 588.855621209539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61292120-0.61301707) × cos(0.26870098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964116572580419 × 6371000     		du = 588.870611386424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26879341)-sin(0.26870098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964092030214606-0.964116572580419)×R²
    abs(0.61301707-0.61292120)×2.45423658130628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.45423658130628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.45423658130628e-05×40589641000000     		ar = 346764.724501832m²