Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39160 / 29943
↖ ↑ ↗
← N 15.331869°
E 35.112304°		 ← 589.11 m → N 15.331869°
E 35.117798°		 →
↑
589.06 m
↓
↑
589.06 m
↓
N 15.326572°
E 35.112304°		 ← 589.13 m →
347 028 m²		 N 15.326572°
E 35.117798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597541809082031 y=0.456901550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597541809082031 × 216)
    floor (0.597541809082031 × 65536)
    floor (39160.5)     		tx = 39160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456901550292969 × 216)
    floor (0.456901550292969 × 65536)
    floor (29943.5)     		ty = 29943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39160 / 29943 ti = "16/39160/29943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39160/29943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39160 ÷ 216
    39160 ÷ 65536     		x = 0.5975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29943 ÷ 216
    29943 ÷ 65536     		y = 0.456893920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5975341796875 × 2 - 1) × π
    0.195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61282532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456893920898438 × 2 - 1) × π
    0.086212158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.270843482853317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61282532} λ = 0.61282532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270843482853317))-π/2
    2×atan(1.31106984941277)-π/2
    2×0.919193965317807-π/2
    1.83838793063561-1.57079632675     		φ = 0.26759160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61282532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.112304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26759160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.331869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39160 KachelY 29943 0.61282532 0.26759160 35.112304 15.331869
    Oben rechts KachelX + 1 39161 KachelY 29943 0.61292120 0.26759160 35.117798 15.331869
    Unten links KachelX 39160 KachelY + 1 29944 0.61282532 0.26749914 35.112304 15.326572
    Unten rechts KachelX + 1 39161 KachelY + 1 29944 0.61292120 0.26749914 35.117798 15.326572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26759160-0.26749914) × R
    9.24599999999609e-05 × 6371000     		dl = 589.062659999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26759160-0.26749914) × R
    9.24599999999609e-05 × 6371000     		dr = 589.062659999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61282532-0.61292120) × cos(0.26759160) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.964410496614534 × 6371000     		do = 589.111579184819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61282532-0.61292120) × cos(0.26749914) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.964434939796374 × 6371000     		du = 589.126510338622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26759160)-sin(0.26749914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964410496614534-0.964434939796374)×R²
    abs(0.61292120-0.61282532)×2.44431818400281e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.44431818400281e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.44431818400281e-05×40589641000000     		ar = 347028.031811171m²