Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3916 / 1798
↖ ↑ ↗
← N 70.524897°
W  7.910156°		 ← 1 629.14 m → N 70.524897°
W  7.866211°		 →
↑
1 629.70 m
↓
↑
1 629.70 m
↓
N 70.510241°
W  7.910156°		 ← 1 630.32 m →
2 655 978 m²		 N 70.510241°
W  7.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47808837890625 y=0.21954345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47808837890625 × 213)
    floor (0.47808837890625 × 8192)
    floor (3916.5)     		tx = 3916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21954345703125 × 213)
    floor (0.21954345703125 × 8192)
    floor (1798.5)     		ty = 1798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3916 / 1798 ti = "13/3916/1798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3916/1798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3916 ÷ 213
    3916 ÷ 8192     		x = 0.47802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1798 ÷ 213
    1798 ÷ 8192     		y = 0.219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47802734375 × 2 - 1) × π
    -0.0439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13805827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    0.56103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76254392523022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13805827} λ = -0.13805827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76254392523022))-π/2
    2×atan(5.82724262425378)-π/2
    2×1.40084399402055-π/2
    2.8016879880411-1.57079632675     		φ = 1.23089166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13805827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23089166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.524897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3916 KachelY 1798 -0.13805827 1.23089166 -7.910156 70.524897
    Oben rechts KachelX + 1 3917 KachelY 1798 -0.13729128 1.23089166 -7.866211 70.524897
    Unten links KachelX 3916 KachelY + 1 1799 -0.13805827 1.23063586 -7.910156 70.510241
    Unten rechts KachelX + 1 3917 KachelY + 1 1799 -0.13729128 1.23063586 -7.866211 70.510241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23089166-1.23063586) × R
    0.000255799999999917 × 6371000     		dl = 1629.70179999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23089166-1.23063586) × R
    0.000255799999999917 × 6371000     		dr = 1629.70179999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13805827--0.13729128) × cos(1.23089166) × R
    0.000766990000000023 × 0.333397214801624 × 6371000     		do = 1629.14325303287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13805827--0.13729128) × cos(1.23063586) × R
    0.000766990000000023 × 0.333638368666138 × 6371000     		du = 1630.32164977368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23089166)-sin(1.23063586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333397214801624-0.333638368666138)×R²
    abs(-0.13729128--0.13805827)×0.000241153864513788×R²
    0.000766990000000023×0.000241153864513788×6371000²
    0.000766990000000023×0.000241153864513788×40589641000000     		ar = 2655977.9240526m²