Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39154 / 29941
↖ ↑ ↗
← N 15.342464°
E 35.079346°		 ← 589.08 m → N 15.342464°
E 35.084839°		 →
↑
589.06 m
↓
↑
589.06 m
↓
N 15.337167°
E 35.079346°		 ← 589.10 m →
347 010 m²		 N 15.337167°
E 35.084839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597450256347656 y=0.456871032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597450256347656 × 216)
    floor (0.597450256347656 × 65536)
    floor (39154.5)     		tx = 39154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456871032714844 × 216)
    floor (0.456871032714844 × 65536)
    floor (29941.5)     		ty = 29941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39154 / 29941 ti = "16/39154/29941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39154/29941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39154 ÷ 216
    39154 ÷ 65536     		x = 0.597442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29941 ÷ 216
    29941 ÷ 65536     		y = 0.456863403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597442626953125 × 2 - 1) × π
    0.19488525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61225008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456863403320312 × 2 - 1) × π
    0.086273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.271035230451798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61225008} λ = 0.61225008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271035230451798))-π/2
    2×atan(1.31132126801153)-π/2
    2×0.91928642467166-π/2
    1.83857284934332-1.57079632675     		φ = 0.26777652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61225008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.079346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26777652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.342464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39154 KachelY 29941 0.61225008 0.26777652 35.079346 15.342464
    Oben rechts KachelX + 1 39155 KachelY 29941 0.61234596 0.26777652 35.084839 15.342464
    Unten links KachelX 39154 KachelY + 1 29942 0.61225008 0.26768406 35.079346 15.337167
    Unten rechts KachelX + 1 39155 KachelY + 1 29942 0.61234596 0.26768406 35.084839 15.337167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26777652-0.26768406) × R
    9.24600000000164e-05 × 6371000     		dl = 589.062660000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26777652-0.26768406) × R
    9.24600000000164e-05 × 6371000     		dr = 589.062660000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61225008-0.61234596) × cos(0.26777652) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964361585517256 × 6371000     		do = 589.081701767976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61225008-0.61234596) × cos(0.26768406) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964386045188092 × 6371000     		du = 589.096642994106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26777652)-sin(0.26768406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964361585517256-0.964386045188092)×R²
    abs(0.61234596-0.61225008)×2.44596708354194e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.44596708354194e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.44596708354194e-05×40589641000000     		ar = 347010.43510726m²