Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39148 / 29948
↖ ↑ ↗
← N 15.305380°
E 35.046387°		 ← 589.12 m → N 15.305380°
E 35.051880°		 →
↑
589.19 m
↓
↑
589.19 m
↓
N 15.300081°
E 35.046387°		 ← 589.14 m →
347 111 m²		 N 15.300081°
E 35.051880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597358703613281 y=0.456977844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597358703613281 × 216)
    floor (0.597358703613281 × 65536)
    floor (39148.5)     		tx = 39148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456977844238281 × 216)
    floor (0.456977844238281 × 65536)
    floor (29948.5)     		ty = 29948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39148 / 29948 ti = "16/39148/29948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39148/29948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39148 ÷ 216
    39148 ÷ 65536     		x = 0.59735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29948 ÷ 216
    29948 ÷ 65536     		y = 0.45697021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59735107421875 × 2 - 1) × π
    0.1947021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61167484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45697021484375 × 2 - 1) × π
    0.0860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.270364113857117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61167484} λ = 0.61167484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270364113857117))-π/2
    2×atan(1.31044151378945)-π/2
    2×0.918962796430454-π/2
    1.83792559286091-1.57079632675     		φ = 0.26712927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61167484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.046387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26712927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.305380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39148 KachelY 29948 0.61167484 0.26712927 35.046387 15.305380
    Oben rechts KachelX + 1 39149 KachelY 29948 0.61177071 0.26712927 35.051880 15.305380
    Unten links KachelX 39148 KachelY + 1 29949 0.61167484 0.26703679 35.046387 15.300081
    Unten rechts KachelX + 1 39149 KachelY + 1 29949 0.61177071 0.26703679 35.051880 15.300081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26712927-0.26703679) × R
    9.24799999999504e-05 × 6371000     		dl = 589.190079999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26712927-0.26703679) × R
    9.24799999999504e-05 × 6371000     		dr = 589.190079999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61167484-0.61177071) × cos(0.26712927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964532637992443 × 6371000     		do = 589.124739051609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61167484-0.61177071) × cos(0.26703679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964557045222952 × 6371000     		du = 589.139646689503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26712927)-sin(0.26703679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964532637992443-0.964557045222952)×R²
    abs(0.61177071-0.61167484)×2.44072305091159e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.44072305091159e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.44072305091159e-05×40589641000000     		ar = 347110.844095293m²