Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3914 / 5417
↖ ↑ ↗
← N 76.077024°
W136.999512°		 ← 293.93 m → N 76.077024°
W136.988526°		 →
↑
293.96 m
↓
↑
293.96 m
↓
N 76.074381°
W136.999512°		 ← 293.99 m →
86 412 m²		 N 76.074381°
W136.988526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119461059570312 y=0.165328979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119461059570312 × 215)
    floor (0.119461059570312 × 32768)
    floor (3914.5)     		tx = 3914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165328979492188 × 215)
    floor (0.165328979492188 × 32768)
    floor (5417.5)     		ty = 5417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3914 / 5417 ti = "15/3914/5417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3914/5417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3914 ÷ 215
    3914 ÷ 32768     		x = 0.11944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5417 ÷ 215
    5417 ÷ 32768     		y = 0.165313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.7611083984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39109255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165313720703125 × 2 - 1) × π
    0.66937255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10289591253262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39109255} λ = -2.39109255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10289591253262))-π/2
    2×atan(8.18985270145263)-π/2
    2×1.44929544453308-π/2
    2.89859088906616-1.57079632675     		φ = 1.32779456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39109255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.999512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32779456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.077024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3914 KachelY 5417 -2.39109255 1.32779456 -136.999512 76.077024
    Oben rechts KachelX + 1 3915 KachelY 5417 -2.39090081 1.32779456 -136.988526 76.077024
    Unten links KachelX 3914 KachelY + 1 5418 -2.39109255 1.32774842 -136.999512 76.074381
    Unten rechts KachelX + 1 3915 KachelY + 1 5418 -2.39090081 1.32774842 -136.988526 76.074381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32779456-1.32774842) × R
    4.61400000000278e-05 × 6371000     		dl = 293.957940000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32779456-1.32774842) × R
    4.61400000000278e-05 × 6371000     		dr = 293.957940000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39109255--2.39090081) × cos(1.32779456) × R
    0.000191739999999996 × 0.24061728120662 × 6371000     		do = 293.932185223302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39109255--2.39090081) × cos(1.32774842) × R
    0.000191739999999996 × 0.240662065360597 × 6371000     		du = 293.98689245038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32779456)-sin(1.32774842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24061728120662-0.240662065360597)×R²
    abs(-2.39090081--2.39109255)×4.47841539768234e-05×R²
    0.000191739999999996×4.47841539768234e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.47841539768234e-05×40589641000000     		ar = 86411.7404956941m²