Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3913 / 2401
↖ ↑ ↗
← N 59.512030°
W  8.041992°		 ← 2 479.20 m → N 59.512030°
W  7.998047°		 →
↑
2 480.04 m
↓
↑
2 480.04 m
↓
N 59.489726°
W  8.041992°		 ← 2 480.84 m →
6 150 542 m²		 N 59.489726°
W  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47772216796875 y=0.29315185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47772216796875 × 213)
    floor (0.47772216796875 × 8192)
    floor (3913.5)     		tx = 3913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29315185546875 × 213)
    floor (0.29315185546875 × 8192)
    floor (2401.5)     		ty = 2401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3913 / 2401 ti = "13/3913/2401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3913/2401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3913 ÷ 213
    3913 ÷ 8192     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2401 ÷ 213
    2401 ÷ 8192     		y = 0.2930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2930908203125 × 2 - 1) × π
    0.413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30004871769592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30004871769592))-π/2
    2×atan(3.669475431653)-π/2
    2×1.30473859205707-π/2
    2.60947718411414-1.57079632675     		φ = 1.03868086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03868086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.512030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3913 KachelY 2401 -0.14035924 1.03868086 -8.041992 59.512030
    Oben rechts KachelX + 1 3914 KachelY 2401 -0.13959225 1.03868086 -7.998047 59.512030
    Unten links KachelX 3913 KachelY + 1 2402 -0.14035924 1.03829159 -8.041992 59.489726
    Unten rechts KachelX + 1 3914 KachelY + 1 2402 -0.13959225 1.03829159 -7.998047 59.489726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03868086-1.03829159) × R
    0.000389269999999886 × 6371000     		dl = 2480.03916999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03868086-1.03829159) × R
    0.000389269999999886 × 6371000     		dr = 2480.03916999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.13959225) × cos(1.03868086) × R
    0.000766989999999995 × 0.507357448370616 × 6371000     		do = 2479.19876709452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.13959225) × cos(1.03829159) × R
    0.000766989999999995 × 0.507692857778521 × 6371000     		du = 2480.83774291565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03868086)-sin(1.03829159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507357448370616-0.507692857778521)×R²
    abs(-0.13959225--0.14035924)×0.000335409407904552×R²
    0.000766989999999995×0.000335409407904552×6371000²
    0.000766989999999995×0.000335409407904552×40589641000000     		ar = 6150542.49239112m²