Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39120 / 28870
↖ ↑ ↗
← N 20.930659°
E 34.892578°		 ← 570.54 m → N 20.930659°
E 34.898071°		 →
↑
570.52 m
↓
↑
570.52 m
↓
N 20.925528°
E 34.892578°		 ← 570.56 m →
325 514 m²		 N 20.925528°
E 34.898071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596931457519531 y=0.440528869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596931457519531 × 216)
    floor (0.596931457519531 × 65536)
    floor (39120.5)     		tx = 39120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440528869628906 × 216)
    floor (0.440528869628906 × 65536)
    floor (28870.5)     		ty = 28870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39120 / 28870 ti = "16/39120/28870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39120/28870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39120 ÷ 216
    39120 ÷ 65536     		x = 0.596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28870 ÷ 216
    28870 ÷ 65536     		y = 0.440521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596923828125 × 2 - 1) × π
    0.19384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60899037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440521240234375 × 2 - 1) × π
    0.11895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.373716069437958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60899037} λ = 0.60899037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373716069437958))-π/2
    2×atan(1.45312450542081)-π/2
    2×0.968052617363662-π/2
    1.93610523472732-1.57079632675     		φ = 0.36530891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60899037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36530891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.930659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39120 KachelY 28870 0.60899037 0.36530891 34.892578 20.930659
    Oben rechts KachelX + 1 39121 KachelY 28870 0.60908625 0.36530891 34.898071 20.930659
    Unten links KachelX 39120 KachelY + 1 28871 0.60899037 0.36521936 34.892578 20.925528
    Unten rechts KachelX + 1 39121 KachelY + 1 28871 0.60908625 0.36521936 34.898071 20.925528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36530891-0.36521936) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dl = 570.523049999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36530891-0.36521936) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dr = 570.523049999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60899037-0.60908625) × cos(0.36530891) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.934013451390309 × 6371000     		do = 570.543499121965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60899037-0.60908625) × cos(0.36521936) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.934045438293603 × 6371000     		du = 570.563038369183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36530891)-sin(0.36521936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934013451390309-0.934045438293603)×R²
    abs(0.60908625-0.60899037)×3.1986903293979e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.1986903293979e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.1986903293979e-05×40589641000000     		ar = 325513.79128973m²