Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3912 / 4930
↖ ↑ ↗
← S 34.379713°
W  8.085937°		 ← 4 032.89 m → S 34.379713°
W  8.041992°		 →
↑
4 032.01 m
↓
↑
4 032.01 m
↓
S 34.415973°
W  8.085937°		 ← 4 031.14 m →
16 257 146 m²		 S 34.415973°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47760009765625 y=0.60186767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47760009765625 × 213)
    floor (0.47760009765625 × 8192)
    floor (3912.5)     		tx = 3912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60186767578125 × 213)
    floor (0.60186767578125 × 8192)
    floor (4930.5)     		ty = 4930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3912 / 4930 ti = "13/3912/4930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3912/4930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3912 ÷ 213
    3912 ÷ 8192     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4930 ÷ 213
    4930 ÷ 8192     		y = 0.601806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601806640625 × 2 - 1) × π
    -0.20361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.639669988530029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.639669988530029))-π/2
    2×atan(0.527466465307239)-π/2
    2×0.485378573195802-π/2
    0.970757146391605-1.57079632675     		φ = -0.60003918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60003918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.379713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3912 KachelY 4930 -0.14112623 -0.60003918 -8.085937 -34.379713
    Oben rechts KachelX + 1 3913 KachelY 4930 -0.14035924 -0.60003918 -8.041992 -34.379713
    Unten links KachelX 3912 KachelY + 1 4931 -0.14112623 -0.60067205 -8.085937 -34.415973
    Unten rechts KachelX + 1 3913 KachelY + 1 4931 -0.14035924 -0.60067205 -8.041992 -34.415973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60003918--0.60067205) × R
    0.000632870000000008 × 6371000     		dl = 4032.01477000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60003918--0.60067205) × R
    0.000632870000000008 × 6371000     		dr = 4032.01477000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.14035924) × cos(-0.60003918) × R
    0.000766989999999995 × 0.825313491584101 × 6371000     		do = 4032.88883877216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.14035924) × cos(-0.60067205) × R
    0.000766989999999995 × 0.824955960582093 × 6371000     		du = 4031.14176592988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60003918)-sin(-0.60067205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825313491584101-0.824955960582093)×R²
    abs(-0.14035924--0.14112623)×0.000357531002008193×R²
    0.000766989999999995×0.000357531002008193×6371000²
    0.000766989999999995×0.000357531002008193×40589641000000     		ar = 16257145.7945618m²