Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3912 / 2438
↖ ↑ ↗
← N 58.676938°
W  8.085937°		 ← 2 540.31 m → N 58.676938°
W  8.041992°		 →
↑
2 541.14 m
↓
↑
2 541.14 m
↓
N 58.654085°
W  8.085937°		 ← 2 541.97 m →
6 457 384 m²		 N 58.654085°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47760009765625 y=0.29766845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47760009765625 × 213)
    floor (0.47760009765625 × 8192)
    floor (3912.5)     		tx = 3912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29766845703125 × 213)
    floor (0.29766845703125 × 8192)
    floor (2438.5)     		ty = 2438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3912 / 2438 ti = "13/3912/2438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3912/2438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3912 ÷ 213
    3912 ÷ 8192     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2438 ÷ 213
    2438 ÷ 8192     		y = 0.297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297607421875 × 2 - 1) × π
    0.40478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27167007312085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27167007312085))-π/2
    2×atan(3.56680441513851)-π/2
    2×1.29745104207507-π/2
    2.59490208415014-1.57079632675     		φ = 1.02410576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02410576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.676938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3912 KachelY 2438 -0.14112623 1.02410576 -8.085937 58.676938
    Oben rechts KachelX + 1 3913 KachelY 2438 -0.14035924 1.02410576 -8.041992 58.676938
    Unten links KachelX 3912 KachelY + 1 2439 -0.14112623 1.02370690 -8.085937 58.654085
    Unten rechts KachelX + 1 3913 KachelY + 1 2439 -0.14035924 1.02370690 -8.041992 58.654085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02410576-1.02370690) × R
    0.000398860000000001 × 6371000     		dl = 2541.13706000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02410576-1.02370690) × R
    0.000398860000000001 × 6371000     		dr = 2541.13706000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.14035924) × cos(1.02410576) × R
    0.000766989999999995 × 0.51986299879566 × 6371000     		do = 2540.30705533426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.14035924) × cos(1.02370690) × R
    0.000766989999999995 × 0.520203683449229 × 6371000     		du = 2541.97180860792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02410576)-sin(1.02370690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51986299879566-0.520203683449229)×R²
    abs(-0.14035924--0.14112623)×0.000340684653568402×R²
    0.000766989999999995×0.000340684653568402×6371000²
    0.000766989999999995×0.000340684653568402×40589641000000     		ar = 6457383.67081664m²