Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3911 / 5416
↖ ↑ ↗
← N 76.079668°
W137.032471°		 ← 293.89 m → N 76.079668°
W137.021484°		 →
↑
293.96 m
↓
↑
293.96 m
↓
N 76.077024°
W137.032471°		 ← 293.95 m →
86 400 m²		 N 76.077024°
W137.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119369506835938 y=0.165298461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119369506835938 × 215)
    floor (0.119369506835938 × 32768)
    floor (3911.5)     		tx = 3911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165298461914062 × 215)
    floor (0.165298461914062 × 32768)
    floor (5416.5)     		ty = 5416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3911 / 5416 ti = "15/3911/5416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3911/5416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3911 ÷ 215
    3911 ÷ 32768     		x = 0.119354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5416 ÷ 215
    5416 ÷ 32768     		y = 0.165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.76129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.39166780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165283203125 × 2 - 1) × π
    0.66943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1030876601311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39166780} λ = -2.39166780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1030876601311))-π/2
    2×atan(8.1914232366084)-π/2
    2×1.44931851127918-π/2
    2.89863702255836-1.57079632675     		φ = 1.32784070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39166780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32784070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.079668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3911 KachelY 5416 -2.39166780 1.32784070 -137.032471 76.079668
    Oben rechts KachelX + 1 3912 KachelY 5416 -2.39147605 1.32784070 -137.021484 76.079668
    Unten links KachelX 3911 KachelY + 1 5417 -2.39166780 1.32779456 -137.032471 76.077024
    Unten rechts KachelX + 1 3912 KachelY + 1 5417 -2.39147605 1.32779456 -137.021484 76.077024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32784070-1.32779456) × R
    4.61400000000278e-05 × 6371000     		dl = 293.957940000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32784070-1.32779456) × R
    4.61400000000278e-05 × 6371000     		dr = 293.957940000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39166780--2.39147605) × cos(1.32784070) × R
    0.000191749999999935 × 0.240572496540393 × 6371000     		do = 293.892804244134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39166780--2.39147605) × cos(1.32779456) × R
    0.000191749999999935 × 0.24061728120662 × 6371000     		du = 293.947514950195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32784070)-sin(1.32779456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240572496540393-0.24061728120662)×R²
    abs(-2.39147605--2.39166780)×4.47846662268436e-05×R²
    0.000191749999999935×4.47846662268436e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.47846662268436e-05×40589641000000     		ar = 86400.1646549489m²