Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39109 / 41045
↖ ↑ ↗
← S 41.331451°
E 34.832153°		 ← 458.64 m → S 41.331451°
E 34.837646°		 →
↑
458.65 m
↓
↑
458.65 m
↓
S 41.335576°
E 34.832153°		 ← 458.61 m →
210 349 m²		 S 41.335576°
E 34.837646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596763610839844 y=0.626304626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596763610839844 × 216)
    floor (0.596763610839844 × 65536)
    floor (39109.5)     		tx = 39109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626304626464844 × 216)
    floor (0.626304626464844 × 65536)
    floor (41045.5)     		ty = 41045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39109 / 41045 ti = "16/39109/41045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39109/41045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39109 ÷ 216
    39109 ÷ 65536     		x = 0.596755981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41045 ÷ 216
    41045 ÷ 65536     		y = 0.626296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596755981445312 × 2 - 1) × π
    0.193511962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60793576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.252593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.79354743631041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60793576} λ = 0.60793576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79354743631041))-π/2
    2×atan(0.452237662063037)-π/2
    2×0.424713208697455-π/2
    0.84942641739491-1.57079632675     		φ = -0.72136991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60793576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.832153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72136991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.331451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39109 KachelY 41045 0.60793576 -0.72136991 34.832153 -41.331451
    Oben rechts KachelX + 1 39110 KachelY 41045 0.60803163 -0.72136991 34.837646 -41.331451
    Unten links KachelX 39109 KachelY + 1 41046 0.60793576 -0.72144190 34.832153 -41.335576
    Unten rechts KachelX + 1 39110 KachelY + 1 41046 0.60803163 -0.72144190 34.837646 -41.335576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72136991--0.72144190) × R
    7.19900000000218e-05 × 6371000     		dl = 458.648290000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72136991--0.72144190) × R
    7.19900000000218e-05 × 6371000     		dr = 458.648290000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60793576-0.60803163) × cos(-0.72136991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750901726328162 × 6371000     		do = 458.641590913119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60793576-0.60803163) × cos(-0.72144190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75085418118149 × 6371000     		du = 458.612550919008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72136991)-sin(-0.72144190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750901726328162-0.75085418118149)×R²
    abs(0.60803163-0.60793576)×4.75451466724897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75451466724897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75451466724897e-05×40589641000000     		ar = 210348.521914603m²