Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39102 / 41049
↖ ↑ ↗
← S 41.347948°
E 34.793701°		 ← 458.57 m → S 41.347948°
E 34.799194°		 →
↑
458.52 m
↓
↑
458.52 m
↓
S 41.352072°
E 34.793701°		 ← 458.54 m →
210 259 m²		 S 41.352072°
E 34.799194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596656799316406 y=0.626365661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596656799316406 × 216)
    floor (0.596656799316406 × 65536)
    floor (39102.5)     		tx = 39102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626365661621094 × 216)
    floor (0.626365661621094 × 65536)
    floor (41049.5)     		ty = 41049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39102 / 41049 ti = "16/39102/41049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39102/41049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39102 ÷ 216
    39102 ÷ 65536     		x = 0.596649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41049 ÷ 216
    41049 ÷ 65536     		y = 0.626358032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596649169921875 × 2 - 1) × π
    0.19329833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60726464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.252716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.79393093150737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60726464} λ = 0.60726464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79393093150737))-π/2
    2×atan(0.452064264342473)-π/2
    2×0.424569243328156-π/2
    0.849138486656313-1.57079632675     		φ = -0.72165784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60726464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.793701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72165784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.347948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39102 KachelY 41049 0.60726464 -0.72165784 34.793701 -41.347948
    Oben rechts KachelX + 1 39103 KachelY 41049 0.60736052 -0.72165784 34.799194 -41.347948
    Unten links KachelX 39102 KachelY + 1 41050 0.60726464 -0.72172981 34.793701 -41.352072
    Unten rechts KachelX + 1 39103 KachelY + 1 41050 0.60736052 -0.72172981 34.799194 -41.352072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72165784--0.72172981) × R
    7.19700000000323e-05 × 6371000     		dl = 458.520870000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72165784--0.72172981) × R
    7.19700000000323e-05 × 6371000     		dr = 458.520870000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60726464-0.60736052) × cos(-0.72165784) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.750711542213281 × 6371000     		do = 458.573256613765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60726464-0.60736052) × cos(-0.72172981) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.750663994718004 × 6371000     		du = 458.544212155904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72165784)-sin(-0.72172981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750711542213281-0.750663994718004)×R²
    abs(0.60736052-0.60726464)×4.75474952768007e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75474952768007e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75474952768007e-05×40589641000000     		ar = 210258.749927072m²