Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 391 / 553
↖ ↑ ↗
← N 63.470145°
W111.269531°		 ← 8 730.48 m → N 63.470145°
W111.093750°		 →
↑
8 742.48 m
↓
↑
8 742.48 m
↓
N 63.391522°
W111.269531°		 ← 8 754.47 m →
76 430 934 m²		 N 63.391522°
W111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191162109375 y=0.270263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191162109375 × 211)
    floor (0.191162109375 × 2048)
    floor (391.5)     		tx = 391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270263671875 × 211)
    floor (0.270263671875 × 2048)
    floor (553.5)     		ty = 553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 391 / 553 ti = "11/391/553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/391/553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 391 ÷ 211
    391 ÷ 2048     		x = 0.19091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 553 ÷ 211
    553 ÷ 2048     		y = 0.27001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19091796875 × 2 - 1) × π
    -0.6181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.94201968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27001953125 × 2 - 1) × π
    0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94201968} λ = -1.94201968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44500990214697))-π/2
    2×atan(4.24189414647175)-π/2
    2×1.3392796646607-π/2
    2.6785593293214-1.57079632675     		φ = 1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94201968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 391 KachelY 553 -1.94201968 1.10776300 -111.269531 63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 392 KachelY 553 -1.93895172 1.10776300 -111.093750 63.470145
    Unten links KachelX 391 KachelY + 1 554 -1.94201968 1.10639077 -111.269531 63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 392 KachelY + 1 554 -1.93895172 1.10639077 -111.093750 63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10776300-1.10639077) × R
    0.00137223000000009 × 6371000     		dl = 8742.47733000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10776300-1.10639077) × R
    0.00137223000000009 × 6371000     		dr = 8742.47733000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94201968--1.93895172) × cos(1.10776300) × R
    0.00306796000000009 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 8730.48412801644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94201968--1.93895172) × cos(1.10639077) × R
    0.00306796000000009 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 8754.47320662364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10776300)-sin(1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.447891396092727)×R²
    abs(-1.93895172--1.94201968)×0.00122731564250267×R²
    0.00306796000000009×0.00122731564250267×6371000²
    0.00306796000000009×0.00122731564250267×40589641000000     		ar = 76430933.5504483m²