Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39097 / 41048
↖ ↑ ↗
← S 41.343824°
E 34.766236°		 ← 458.55 m → S 41.343824°
E 34.771729°		 →
↑
458.58 m
↓
↑
458.58 m
↓
S 41.347948°
E 34.766236°		 ← 458.53 m →
210 279 m²		 S 41.347948°
E 34.771729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596580505371094 y=0.626350402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596580505371094 × 216)
    floor (0.596580505371094 × 65536)
    floor (39097.5)     		tx = 39097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626350402832031 × 216)
    floor (0.626350402832031 × 65536)
    floor (41048.5)     		ty = 41048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39097 / 41048 ti = "16/39097/41048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39097/41048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39097 ÷ 216
    39097 ÷ 65536     		x = 0.596572875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41048 ÷ 216
    41048 ÷ 65536     		y = 0.6263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596572875976562 × 2 - 1) × π
    0.193145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60678528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60678528} λ = 0.60678528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79383505770813))-π/2
    2×atan(0.452107607538701)-π/2
    2×0.424605231251637-π/2
    0.849210462503275-1.57079632675     		φ = -0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60678528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.766236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39097 KachelY 41048 0.60678528 -0.72158586 34.766236 -41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 39098 KachelY 41048 0.60688115 -0.72158586 34.771729 -41.343824
    Unten links KachelX 39097 KachelY + 1 41049 0.60678528 -0.72165784 34.766236 -41.347948
    Unten rechts KachelX + 1 39098 KachelY + 1 41049 0.60688115 -0.72165784 34.771729 -41.347948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72158586--0.72165784) × R
    7.19799999999715e-05 × 6371000     		dl = 458.584579999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72158586--0.72165784) × R
    7.19799999999715e-05 × 6371000     		dr = 458.584579999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60678528-0.60688115) × cos(-0.72158586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 458.554471870013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60678528-0.60688115) × cos(-0.72165784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750711542213281 × 6371000     		du = 458.525428781701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72158586)-sin(-0.72165784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.750711542213281)×R²
    abs(0.60688115-0.60678528)×4.75502125916183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75502125916183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75502125916183e-05×40589641000000     		ar = 210279.350624419m²