Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39092 / 41133
↖ ↑ ↗
← S 41.693424°
E 34.738770°		 ← 456.08 m → S 41.693424°
E 34.744263°		 →
↑
456.10 m
↓
↑
456.10 m
↓
S 41.697526°
E 34.738770°		 ← 456.06 m →
208 013 m²		 S 41.697526°
E 34.744263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596504211425781 y=0.627647399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596504211425781 × 216)
    floor (0.596504211425781 × 65536)
    floor (39092.5)     		tx = 39092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627647399902344 × 216)
    floor (0.627647399902344 × 65536)
    floor (41133.5)     		ty = 41133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39092 / 41133 ti = "16/39092/41133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39092/41133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39092 ÷ 216
    39092 ÷ 65536     		x = 0.59649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41133 ÷ 216
    41133 ÷ 65536     		y = 0.627639770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59649658203125 × 2 - 1) × π
    0.1929931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60630591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627639770507812 × 2 - 1) × π
    -0.255279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.801984330643539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60630591} λ = 0.60630591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801984330643539))-π/2
    2×atan(0.448438230931549)-π/2
    2×0.421554398904718-π/2
    0.843108797809437-1.57079632675     		φ = -0.72768753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60630591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.738770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72768753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.693424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39092 KachelY 41133 0.60630591 -0.72768753 34.738770 -41.693424
    Oben rechts KachelX + 1 39093 KachelY 41133 0.60640178 -0.72768753 34.744263 -41.693424
    Unten links KachelX 39092 KachelY + 1 41134 0.60630591 -0.72775912 34.738770 -41.697526
    Unten rechts KachelX + 1 39093 KachelY + 1 41134 0.60640178 -0.72775912 34.744263 -41.697526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72768753--0.72775912) × R
    7.15900000000103e-05 × 6371000     		dl = 456.099890000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72768753--0.72775912) × R
    7.15900000000103e-05 × 6371000     		dr = 456.099890000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60630591-0.60640178) × cos(-0.72768753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746714524579621 × 6371000     		do = 456.084099294587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60630591-0.60640178) × cos(-0.72775912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746666904959946 × 6371000     		du = 456.055013813277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72768753)-sin(-0.72775912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746714524579621-0.746666904959946)×R²
    abs(0.60640178-0.60630591)×4.76196196755874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76196196755874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76196196755874e-05×40589641000000     		ar = 208013.274665332m²