Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39091 / 41139
↖ ↑ ↗
← S 41.718031°
E 34.733276°		 ← 455.96 m → S 41.718031°
E 34.738770°		 →
↑
455.91 m
↓
↑
455.91 m
↓
S 41.722131°
E 34.733276°		 ← 455.93 m →
207 868 m²		 S 41.722131°
E 34.738770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596488952636719 y=0.627738952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596488952636719 × 216)
    floor (0.596488952636719 × 65536)
    floor (39091.5)     		tx = 39091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627738952636719 × 216)
    floor (0.627738952636719 × 65536)
    floor (41139.5)     		ty = 41139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39091 / 41139 ti = "16/39091/41139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39091/41139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39091 ÷ 216
    39091 ÷ 65536     		x = 0.596481323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41139 ÷ 216
    41139 ÷ 65536     		y = 0.627731323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596481323242188 × 2 - 1) × π
    0.192962646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60621003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627731323242188 × 2 - 1) × π
    -0.255462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.80255957343898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60621003} λ = 0.60621003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80255957343898))-π/2
    2×atan(0.448180344250844)-π/2
    2×0.421339668918447-π/2
    0.842679337836895-1.57079632675     		φ = -0.72811699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60621003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.733276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72811699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.718031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39091 KachelY 41139 0.60621003 -0.72811699 34.733276 -41.718031
    Oben rechts KachelX + 1 39092 KachelY 41139 0.60630591 -0.72811699 34.738770 -41.718031
    Unten links KachelX 39091 KachelY + 1 41140 0.60621003 -0.72818855 34.733276 -41.722131
    Unten rechts KachelX + 1 39092 KachelY + 1 41140 0.60630591 -0.72818855 34.738770 -41.722131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72811699--0.72818855) × R
    7.15600000000816e-05 × 6371000     		dl = 455.90876000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72811699--0.72818855) × R
    7.15600000000816e-05 × 6371000     		dr = 455.90876000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60621003-0.60630591) × cos(-0.72811699) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746428802702222 × 6371000     		do = 455.957138845509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60621003-0.60630591) × cos(-0.72818855) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746381180095463 × 6371000     		du = 455.928048505689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72811699)-sin(-0.72818855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746428802702222-0.746381180095463)×R²
    abs(0.60630591-0.60621003)×4.76226067592789e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76226067592789e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76226067592789e-05×40589641000000     		ar = 207868.222602957m²