Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3909 / 4762
↖ ↑ ↗
← S 28.071980°
W  8.217773°		 ← 4 311.63 m → S 28.071980°
W  8.173828°		 →
↑
4 310.87 m
↓
↑
4 310.87 m
↓
S 28.110749°
W  8.217773°		 ← 4 310.08 m →
18 583 545 m²		 S 28.110749°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47723388671875 y=0.58135986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47723388671875 × 213)
    floor (0.47723388671875 × 8192)
    floor (3909.5)     		tx = 3909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58135986328125 × 213)
    floor (0.58135986328125 × 8192)
    floor (4762.5)     		ty = 4762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3909 / 4762 ti = "13/3909/4762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3909/4762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3909 ÷ 213
    3909 ÷ 8192     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4762 ÷ 213
    4762 ÷ 8192     		y = 0.581298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.510815602351318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510815602351318))-π/2
    2×atan(0.600006012878932)-π/2
    2×0.540423921493365-π/2
    1.08084784298673-1.57079632675     		φ = -0.48994848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48994848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.071980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3909 KachelY 4762 -0.14342720 -0.48994848 -8.217773 -28.071980
    Oben rechts KachelX + 1 3910 KachelY 4762 -0.14266021 -0.48994848 -8.173828 -28.071980
    Unten links KachelX 3909 KachelY + 1 4763 -0.14342720 -0.49062512 -8.217773 -28.110749
    Unten rechts KachelX + 1 3910 KachelY + 1 4763 -0.14266021 -0.49062512 -8.173828 -28.110749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48994848--0.49062512) × R
    0.000676640000000006 × 6371000     		dl = 4310.87344000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48994848--0.49062512) × R
    0.000676640000000006 × 6371000     		dr = 4310.87344000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14266021) × cos(-0.48994848) × R
    0.000766989999999995 × 0.882357104084877 × 6371000     		do = 4311.63206849455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14266021) × cos(-0.49062512) × R
    0.000766989999999995 × 0.882038488577257 × 6371000     		du = 4310.07515595448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48994848)-sin(-0.49062512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882357104084877-0.882038488577257)×R²
    abs(-0.14266021--0.14342720)×0.000318615507620024×R²
    0.000766989999999995×0.000318615507620024×6371000²
    0.000766989999999995×0.000318615507620024×40589641000000     		ar = 18583545.0496943m²