Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3909 / 2442
↖ ↑ ↗
← N 58.585436°
W  8.217773°		 ← 2 546.97 m → N 58.585436°
W  8.173828°		 →
↑
2 547.83 m
↓
↑
2 547.83 m
↓
N 58.562523°
W  8.217773°		 ← 2 548.64 m →
6 491 363 m²		 N 58.562523°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47723388671875 y=0.29815673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47723388671875 × 213)
    floor (0.47723388671875 × 8192)
    floor (3909.5)     		tx = 3909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29815673828125 × 213)
    floor (0.29815673828125 × 8192)
    floor (2442.5)     		ty = 2442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3909 / 2442 ti = "13/3909/2442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3909/2442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3909 ÷ 213
    3909 ÷ 8192     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2442 ÷ 213
    2442 ÷ 8192     		y = 0.298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298095703125 × 2 - 1) × π
    0.40380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26860211154517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26860211154517))-π/2
    2×atan(3.55587836516565)-π/2
    2×1.29665253665141-π/2
    2.59330507330282-1.57079632675     		φ = 1.02250875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02250875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.585436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3909 KachelY 2442 -0.14342720 1.02250875 -8.217773 58.585436
    Oben rechts KachelX + 1 3910 KachelY 2442 -0.14266021 1.02250875 -8.173828 58.585436
    Unten links KachelX 3909 KachelY + 1 2443 -0.14342720 1.02210884 -8.217773 58.562523
    Unten rechts KachelX + 1 3910 KachelY + 1 2443 -0.14266021 1.02210884 -8.173828 58.562523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02250875-1.02210884) × R
    0.000399910000000059 × 6371000     		dl = 2547.82661000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02250875-1.02210884) × R
    0.000399910000000059 × 6371000     		dr = 2547.82661000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14266021) × cos(1.02250875) × R
    0.000766989999999995 × 0.521226580507597 × 6371000     		do = 2546.97018822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14266021) × cos(1.02210884) × R
    0.000766989999999995 × 0.521567829344844 × 6371000     		du = 2548.63769837343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02250875)-sin(1.02210884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521226580507597-0.521567829344844)×R²
    abs(-0.14266021--0.14342720)×0.000341248837246733×R²
    0.000766989999999995×0.000341248837246733×6371000²
    0.000766989999999995×0.000341248837246733×40589641000000     		ar = 6491362.77030696m²