Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3908 / 4937
↖ ↑ ↗
← S 34.633208°
W  8.261719°		 ← 4 020.64 m → S 34.633208°
W  8.217773°		 →
↑
4 019.78 m
↓
↑
4 019.78 m
↓
S 34.669359°
W  8.261719°		 ← 4 018.89 m →
16 158 581 m²		 S 34.669359°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47711181640625 y=0.60272216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47711181640625 × 213)
    floor (0.47711181640625 × 8192)
    floor (3908.5)     		tx = 3908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60272216796875 × 213)
    floor (0.60272216796875 × 8192)
    floor (4937.5)     		ty = 4937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3908 / 4937 ti = "13/3908/4937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3908/4937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3908 ÷ 213
    3908 ÷ 8192     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4937 ÷ 213
    4937 ÷ 8192     		y = 0.6026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.645038921287476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645038921287476))-π/2
    2×atan(0.524642121962356)-π/2
    2×0.483166409114372-π/2
    0.966332818228744-1.57079632675     		φ = -0.60446351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60446351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.633208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3908 KachelY 4937 -0.14419419 -0.60446351 -8.261719 -34.633208
    Oben rechts KachelX + 1 3909 KachelY 4937 -0.14342720 -0.60446351 -8.217773 -34.633208
    Unten links KachelX 3908 KachelY + 1 4938 -0.14419419 -0.60509446 -8.261719 -34.669359
    Unten rechts KachelX + 1 3909 KachelY + 1 4938 -0.14342720 -0.60509446 -8.217773 -34.669359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60446351--0.60509446) × R
    0.000630950000000019 × 6371000     		dl = 4019.78245000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60446351--0.60509446) × R
    0.000630950000000019 × 6371000     		dr = 4019.78245000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14342720) × cos(-0.60446351) × R
    0.000766989999999995 × 0.822807114417136 × 6371000     		do = 4020.64144356357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14342720) × cos(-0.60509446) × R
    0.000766989999999995 × 0.82244836869727 × 6371000     		du = 4018.88843501063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60446351)-sin(-0.60509446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822807114417136-0.82244836869727)×R²
    abs(-0.14342720--0.14419419)×0.000358745719865383×R²
    0.000766989999999995×0.000358745719865383×6371000²
    0.000766989999999995×0.000358745719865383×40589641000000     		ar = 16158581.0921306m²