Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3908 / 2510
↖ ↑ ↗
← N 56.992883°
W  8.261719°		 ← 2 661.88 m → N 56.992883°
W  8.217773°		 →
↑
2 662.76 m
↓
↑
2 662.76 m
↓
N 56.968936°
W  8.261719°		 ← 2 663.60 m →
7 090 237 m²		 N 56.968936°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47711181640625 y=0.30645751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47711181640625 × 213)
    floor (0.47711181640625 × 8192)
    floor (3908.5)     		tx = 3908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30645751953125 × 213)
    floor (0.30645751953125 × 8192)
    floor (2510.5)     		ty = 2510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3908 / 2510 ti = "13/3908/2510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3908/2510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3908 ÷ 213
    3908 ÷ 8192     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2510 ÷ 213
    2510 ÷ 8192     		y = 0.306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306396484375 × 2 - 1) × π
    0.38720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21644676475854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21644676475854))-π/2
    2×atan(3.37517361593033)-π/2
    2×1.28275489096004-π/2
    2.56550978192008-1.57079632675     		φ = 0.99471346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99471346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.992883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3908 KachelY 2510 -0.14419419 0.99471346 -8.261719 56.992883
    Oben rechts KachelX + 1 3909 KachelY 2510 -0.14342720 0.99471346 -8.217773 56.992883
    Unten links KachelX 3908 KachelY + 1 2511 -0.14419419 0.99429551 -8.261719 56.968936
    Unten rechts KachelX + 1 3909 KachelY + 1 2511 -0.14342720 0.99429551 -8.217773 56.968936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99471346-0.99429551) × R
    0.00041795 × 6371000     		dl = 2662.75945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99471346-0.99429551) × R
    0.00041795 × 6371000     		dr = 2662.75945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14342720) × cos(0.99471346) × R
    0.000766989999999995 × 0.544743205134429 × 6371000     		do = 2661.88401666246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14342720) × cos(0.99429551) × R
    0.000766989999999995 × 0.545093651631938 × 6371000     		du = 2663.59647112105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99471346)-sin(0.99429551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544743205134429-0.545093651631938)×R²
    abs(-0.14342720--0.14419419)×0.000350446497509593×R²
    0.000766989999999995×0.000350446497509593×6371000²
    0.000766989999999995×0.000350446497509593×40589641000000     		ar = 7090236.85052942m²