Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3908 / 2487
↖ ↑ ↗
← N 57.539417°
W  8.261719°		 ← 2 622.68 m → N 57.539417°
W  8.217773°		 →
↑
2 623.51 m
↓
↑
2 623.51 m
↓
N 57.515823°
W  8.261719°		 ← 2 624.37 m →
6 882 852 m²		 N 57.515823°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47711181640625 y=0.30364990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47711181640625 × 213)
    floor (0.47711181640625 × 8192)
    floor (3908.5)     		tx = 3908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30364990234375 × 213)
    floor (0.30364990234375 × 8192)
    floor (2487.5)     		ty = 2487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3908 / 2487 ti = "13/3908/2487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3908/2487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3908 ÷ 213
    3908 ÷ 8192     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2487 ÷ 213
    2487 ÷ 8192     		y = 0.3035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3035888671875 × 2 - 1) × π
    0.392822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23408754381873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23408754381873))-π/2
    2×atan(3.4352425818913)-π/2
    2×1.28752429975844-π/2
    2.57504859951687-1.57079632675     		φ = 1.00425227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00425227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.539417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3908 KachelY 2487 -0.14419419 1.00425227 -8.261719 57.539417
    Oben rechts KachelX + 1 3909 KachelY 2487 -0.14342720 1.00425227 -8.217773 57.539417
    Unten links KachelX 3908 KachelY + 1 2488 -0.14419419 1.00384048 -8.261719 57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 3909 KachelY + 1 2488 -0.14342720 1.00384048 -8.217773 57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00425227-1.00384048) × R
    0.000411790000000023 × 6371000     		dl = 2623.51409000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00425227-1.00384048) × R
    0.000411790000000023 × 6371000     		dr = 2623.51409000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14342720) × cos(1.00425227) × R
    0.000766989999999995 × 0.536719270015031 × 6371000     		do = 2622.67511154213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14342720) × cos(1.00384048) × R
    0.000766989999999995 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 2624.37271242964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00425227)-sin(1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536719270015031-0.537066676792603)×R²
    abs(-0.14342720--0.14419419)×0.000347406777572168×R²
    0.000766989999999995×0.000347406777572168×6371000²
    0.000766989999999995×0.000347406777572168×40589641000000     		ar = 6882852.04580954m²