Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39072 / 42144
↖ ↑ ↗
← S 45.706179°
E 34.628906°		 ← 426.54 m → S 45.706179°
E 34.634399°		 →
↑
426.54 m
↓
↑
426.54 m
↓
S 45.710015°
E 34.628906°		 ← 426.51 m →
181 928 m²		 S 45.710015°
E 34.634399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596199035644531 y=0.643074035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596199035644531 × 216)
    floor (0.596199035644531 × 65536)
    floor (39072.5)     		tx = 39072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643074035644531 × 216)
    floor (0.643074035644531 × 65536)
    floor (42144.5)     		ty = 42144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39072 / 42144 ti = "16/39072/42144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39072/42144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39072 ÷ 216
    39072 ÷ 65536     		x = 0.59619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42144 ÷ 216
    42144 ÷ 65536     		y = 0.64306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59619140625 × 2 - 1) × π
    0.1923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60438843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60438843} λ = 0.60438843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898912741675293))-π/2
    2×atan(0.407011946384073)-π/2
    2×0.386536504888493-π/2
    0.773073009776987-1.57079632675     		φ = -0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60438843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39072 KachelY 42144 0.60438843 -0.79772332 34.628906 -45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 39073 KachelY 42144 0.60448430 -0.79772332 34.634399 -45.706179
    Unten links KachelX 39072 KachelY + 1 42145 0.60438843 -0.79779027 34.628906 -45.710015
    Unten rechts KachelX + 1 39073 KachelY + 1 42145 0.60448430 -0.79779027 34.634399 -45.710015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79772332--0.79779027) × R
    6.69500000000101e-05 × 6371000     		dl = 426.538450000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79772332--0.79779027) × R
    6.69500000000101e-05 × 6371000     		dr = 426.538450000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60438843-0.60448430) × cos(-0.79772332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 426.536366280293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60438843-0.60448430) × cos(-0.79779027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698290170355647 × 6371000     		du = 426.507095964436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79772332)-sin(-0.79779027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.698290170355647)×R²
    abs(0.60448430-0.60438843)×4.79222363219955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79222363219955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79222363219955e-05×40589641000000     		ar = 181927.918152064m²