Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39071 / 42146
↖ ↑ ↗
← S 45.713851°
E 34.623413°		 ← 426.48 m → S 45.713851°
E 34.628906°		 →
↑
426.47 m
↓
↑
426.47 m
↓
S 45.717686°
E 34.623413°		 ← 426.45 m →
181 876 m²		 S 45.717686°
E 34.628906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596183776855469 y=0.643104553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596183776855469 × 216)
    floor (0.596183776855469 × 65536)
    floor (39071.5)     		tx = 39071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643104553222656 × 216)
    floor (0.643104553222656 × 65536)
    floor (42146.5)     		ty = 42146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39071 / 42146 ti = "16/39071/42146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39071/42146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39071 ÷ 216
    39071 ÷ 65536     		x = 0.596176147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42146 ÷ 216
    42146 ÷ 65536     		y = 0.643096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596176147460938 × 2 - 1) × π
    0.192352294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60429256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.28619384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.899104489273773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60429256} λ = 0.60429256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899104489273773))-π/2
    2×atan(0.406933910302656)-π/2
    2×0.386469557156684-π/2
    0.772939114313368-1.57079632675     		φ = -0.79785721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60429256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.623413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79785721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.713851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39071 KachelY 42146 0.60429256 -0.79785721 34.623413 -45.713851
    Oben rechts KachelX + 1 39072 KachelY 42146 0.60438843 -0.79785721 34.628906 -45.713851
    Unten links KachelX 39071 KachelY + 1 42147 0.60429256 -0.79792415 34.623413 -45.717686
    Unten rechts KachelX + 1 39072 KachelY + 1 42147 0.60438843 -0.79792415 34.628906 -45.717686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79785721--0.79792415) × R
    6.69400000000708e-05 × 6371000     		dl = 426.474740000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79785721--0.79792415) × R
    6.69400000000708e-05 × 6371000     		dr = 426.474740000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60429256-0.60438843) × cos(-0.79785721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698242252147993 × 6371000     		do = 426.477828109241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60429256-0.60438843) × cos(-0.79792415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698194330811541 × 6371000     		du = 426.448558343014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79785721)-sin(-0.79792415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698242252147993-0.698194330811541)×R²
    abs(0.60438843-0.60429256)×4.79213364523723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79213364523723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79213364523723e-05×40589641000000     		ar = 181875.779518965m²