Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3907 / 2456
↖ ↑ ↗
← N 58.263287°
W  8.305664°		 ← 2 570.38 m → N 58.263287°
W  8.261719°		 →
↑
2 571.21 m
↓
↑
2 571.21 m
↓
N 58.240164°
W  8.305664°		 ← 2 572.05 m →
6 611 131 m²		 N 58.240164°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47698974609375 y=0.29986572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47698974609375 × 213)
    floor (0.47698974609375 × 8192)
    floor (3907.5)     		tx = 3907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29986572265625 × 213)
    floor (0.29986572265625 × 8192)
    floor (2456.5)     		ty = 2456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3907 / 2456 ti = "13/3907/2456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3907/2456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3907 ÷ 213
    3907 ÷ 8192     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2456 ÷ 213
    2456 ÷ 8192     		y = 0.2998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2998046875 × 2 - 1) × π
    0.400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25786424603027))-π/2
    2×atan(3.5179000892158)-π/2
    2×1.29384125943822-π/2
    2.58768251887645-1.57079632675     		φ = 1.01688619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01688619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.263287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3907 KachelY 2456 -0.14496118 1.01688619 -8.305664 58.263287
    Oben rechts KachelX + 1 3908 KachelY 2456 -0.14419419 1.01688619 -8.261719 58.263287
    Unten links KachelX 3907 KachelY + 1 2457 -0.14496118 1.01648261 -8.305664 58.240164
    Unten rechts KachelX + 1 3908 KachelY + 1 2457 -0.14419419 1.01648261 -8.261719 58.240164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01688619-1.01648261) × R
    0.000403579999999959 × 6371000     		dl = 2571.20817999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01688619-1.01648261) × R
    0.000403579999999959 × 6371000     		dr = 2571.20817999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14419419) × cos(1.01688619) × R
    0.000766989999999995 × 0.526016712216751 × 6371000     		do = 2570.377134675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14419419) × cos(1.01648261) × R
    0.000766989999999995 × 0.526359903759825 × 6371000     		du = 2572.05413784741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01688619)-sin(1.01648261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526016712216751-0.526359903759825)×R²
    abs(-0.14419419--0.14496118)×0.000343191543073607×R²
    0.000766989999999995×0.000343191543073607×6371000²
    0.000766989999999995×0.000343191543073607×40589641000000     		ar = 6611130.76623009m²