Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3907 / 2180
↖ ↑ ↗
← N 64.091407°
W  8.305664°		 ← 2 135.09 m → N 64.091407°
W  8.261719°		 →
↑
2 135.81 m
↓
↑
2 135.81 m
↓
N 64.072199°
W  8.305664°		 ← 2 136.56 m →
4 561 725 m²		 N 64.072199°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47698974609375 y=0.26617431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47698974609375 × 213)
    floor (0.47698974609375 × 8192)
    floor (3907.5)     		tx = 3907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26617431640625 × 213)
    floor (0.26617431640625 × 8192)
    floor (2180.5)     		ty = 2180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3907 / 2180 ti = "13/3907/2180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3907/2180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3907 ÷ 213
    3907 ÷ 8192     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2180 ÷ 213
    2180 ÷ 8192     		y = 0.26611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26611328125 × 2 - 1) × π
    0.4677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46955359475244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46955359475244))-π/2
    2×atan(4.3472940529611)-π/2
    2×1.34470120514189-π/2
    2.68940241028378-1.57079632675     		φ = 1.11860608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11860608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.091407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3907 KachelY 2180 -0.14496118 1.11860608 -8.305664 64.091407
    Oben rechts KachelX + 1 3908 KachelY 2180 -0.14419419 1.11860608 -8.261719 64.091407
    Unten links KachelX 3907 KachelY + 1 2181 -0.14496118 1.11827084 -8.305664 64.072199
    Unten rechts KachelX + 1 3908 KachelY + 1 2181 -0.14419419 1.11827084 -8.261719 64.072199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11860608-1.11827084) × R
    0.000335239999999848 × 6371000     		dl = 2135.81403999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11860608-1.11827084) × R
    0.000335239999999848 × 6371000     		dr = 2135.81403999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14419419) × cos(1.11860608) × R
    0.000766989999999995 × 0.436936690610512 × 6371000     		do = 2135.08820682306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14419419) × cos(1.11827084) × R
    0.000766989999999995 × 0.437238211837838 × 6371000     		du = 2136.56158827718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11860608)-sin(1.11827084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436936690610512-0.437238211837838)×R²
    abs(-0.14419419--0.14496118)×0.000301521227326129×R²
    0.000766989999999995×0.000301521227326129×6371000²
    0.000766989999999995×0.000301521227326129×40589641000000     		ar = 4561724.84589005m²